補間多項式

関数 $f(x)$ に近い多項式 $g(x)$ を考えます。
区間 $[a,b]$ のいくつかの点の $f(x)$ の値から、多項式を補間して近似を行います。

区間 $[a,b]$ の中に $N$ 個の点

$\begin{eqnarray} a=x_1 < x_2 < \cdots < x_N=b\tag{1} \end{eqnarray}$

を取ります。
$N$ 個の点では $f(x)$ と $g(x)$ は一致します。

$\begin{eqnarray} f(x_n)=g(x_n)\hspace{20px}(n=1,\ldots,N)\tag{2} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} l_n(x)=\frac{\prod_{m\not=n}(x-x_m)}{\prod_{m\not=n}(x_n-x_m)}\hspace{20px}(n=1,\ldots,N)\tag{3} \end{eqnarray}$

ルジャンドル多項式を組み合わせて、 $(2)$ を満たす多項式が構成できます。

$\begin{eqnarray} g(x)=\sum_{n=1}^Nf(x_n)l_n(x)\tag{4} \end{eqnarray}$

$y=\sin 2\pi x$ を $[0,1]$ で $N$ 個の点を取り、 $g(x)$ がどれぐらい近似できるか試してみました。

まず、 $N=4$ の場合です。少ない点ながらも、まあまあ近似できていることが分かります。

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次に、 $N=6$ の場合です。ほぼ一致しています。

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意欲は成功への道筋。
継続はそこへ到達する乗り物。
ビル・ブラッドリー

なし