積分近似 - 複合台形公式 - 機械学習基礎理論独習

台形公式

区間 $[a,b]$ 上の関数 $f(x)$ の積分を考えます。

$\begin{eqnarray} I=\int_a^bf(x){\rm d}x\tag{1} \end{eqnarray}$

補間多項式の記事で求めた補間多項式 $g(x)$ を用いて、積分近似してみます。

$\begin{eqnarray} J &=& \int_a^bg(x){\rm d}x\\ &=&\int_a^b\sum_{n=1}^Nf(x_n)l_n(x){\rm d}x\\ &=&\sum_{n=1}^Nf(x_n)\int_a^bl_n(x){\rm d}x\\ &=&\sum_{n=1}^Nf(x_n)w_n\tag{2} \end{eqnarray}$

$(2)$ で $w_n$ は以下のようにおきました。

$\begin{eqnarray} w_n=\int_a^bl_n(x){\rm d}x\tag{3} \end{eqnarray}$

$w_n$ は $f(x)$ によらない定数ですが、計算が大変なため、求めません。

$I$ の近似のための $J$ の計算式をニュートン・コーツの公式といいます。
ニュートン・コーツの公式で $N=2$ の場合を台形公式といいます。

関数 $f(x)\ (a\leq x \leq b)$ に対する台形公式は、次のように書けます。

$\begin{eqnarray} J=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))\tag{4} \end{eqnarray}$

$(4)$ を示します。

[証明]
$N=2$ のとき、 $x_1=a,x_2=b$ で、以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} &&l_1(x)=\frac{x-a}{b-a}\\ &&l_2(x)=\frac{x-b}{a-b}\tag{5} \end{eqnarray}$

$w_1(x)$ を求めます。

$\begin{eqnarray} w_1(x)&=&\int_a^bl_1(x){\rm d}x\\ &=&\int_a^b\frac{x-a}{b-a}{\rm d}x\\ &=&\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{2}x^2-ax\right]^b_a\\ &=&\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{2}b^2-ab-\frac{1}{2}a^2+a^2\right)\\ &=&\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{2}(b-a)^2\right)\\ &=&\frac{b-a}{2}\tag{6} \end{eqnarray}$

$w_2(x)$ を求めます。

$\begin{eqnarray} w_2(x)&=&\int^b_al_2(x){\rm d}x\\ &=&\int_a^b\frac{x-b}{a-b}{\rm d}x\\ &=&\frac{1}{a-b}\left[\frac{1}{2}x^2-bx\right]^b_a\\ &=&\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{2}b^2-b^2-\frac{1}{2}a^2+ab\right)\\ &=&\frac{1}{a-b}\left(-\frac{1}{2}(a-b)^2\right)\\ &=&\frac{b-a}{2}\tag{7} \end{eqnarray}$

$(6),(7)$ とニュートン・コーツの公式より

$\begin{eqnarray} J&=&f(a)w_1+f(b)w_2\\ &=&\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))\tag{8} \end{eqnarray}$

となります。

[証明終わり]

台形公式のイメージは以下の図です。

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複合台形公式

区間 $[a,b]$ を $N$ 等分し、各区間に対して台形公式を用いる方法を複合台形公式といいます。
$N$ 等分点を $a=x_1 < \cdots < x_N=b$ とおきます。このとき、複合台形公式は

$\begin{eqnarray} J=\frac{b-a}{2(N-1)}\sum_{n=2}^N(f(x_{n-1})+f(x_n))\tag{9} \end{eqnarray}$

となります。

$N=4$ のときの複合台形公式のイメージは以下の図です。

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複合台形公式の実験

次の関数 $f(x)$ を区間 $[-1,1]$ で複合台形公式を使って積分を近似してみます。

$\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{1+x^2}\tag{10} \end{eqnarray}$

$(10)$ のグラフは下図のようになります。

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先に解析解 $I$ を計算してみます。

$\begin{eqnarray} I&=&\int^1_{-1}f(x){\rm d}x\\ &=&\int^1_{-1}\left(\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{1+x^2}\right){\rm d}x\\ &=&\left[\tan^{-1}x+\ln\left(\tan x+\frac{1}{\cos x}\right)\right]^1_{-1}\\ &=&4.023178668561932\cdots\tag{11} \end{eqnarray}$