線形写像と行列

線形写像

$n$ 次元空間 $\mathbb{R}^n$ から $m$ 次元空間 $\mathbb{R}^m$ への写像 $f(\cdot)$ が線形写像であるとは、
任意の ${\bf u},{\bf v}\in\mathbb{R}^n$ と任意の実数 $c$ に対して、

$\begin{eqnarray} &&f({\bf u}+{\bf v})=f({\bf u})+f({\bf v}),\\ &&f(c{\bf u})=cf({\bf u})\tag{1} \end{eqnarray}$

となることです。

線形写像 $f(\cdot)$ によってベクトル ${\bf u}\in\mathbb{R}^n$ がベクトル ${\bf u}'\in\mathbb{R}^m$ に対応するとします。
ベクトル ${\bf u}$ は成分 $u_i$ を縦に並べた列ベクトル( ${\bf u}=(u_i)$ と略記)であるとすると、

$\begin{eqnarray} {\bf u}=\sum_{j=1}^n u_j{\bf e}_j\tag{2} \end{eqnarray}$

と書けます。
ただし、 ${\bf e}_j$ は第 $j$ 成分が $1$ 、その他は $0$ の $n$ 次元ベクトルです。
$\{{\bf e}_1,\ldots,{\bf e}_n\}$ を $\mathbb{R}^n$ の自然基底と呼びます。

同様に、ベクトル ${\bf u}'=(u'_i)\in\mathbb{R}^m$ も $\mathbb{R}^m$ の自然基底 $\{{\bf e}'_1,\ldots,{\bf e}'_m\}$ を用いて、

$\begin{eqnarray} {\bf u}'=\sum_{i=1}^m u_i'{\bf e}'_i\tag{3} \end{eqnarray}$

と書けます。

線形写像 $f(\cdot)$ によってベクトル ${\bf u}\in\mathbb{R}^n$ は次のようにベクトル ${\bf u}'\in\mathbb{R}^m$ に写像されます。

$\begin{eqnarray} {\bf u}'&=&f({\bf u})\\ &=&f\left(\sum_{j=1}^nu_j{\bf e}_j\right)\\ &=&\sum_{j=1}^nu_jf({\bf e}_j)\tag{4} \end{eqnarray}$

$f({\bf e}_j)$ は $\mathbb{R}^m$ のベクトルであるから、 $\mathbb{R}^m$ の自然基底 $\{{\bf e}'_1,\ldots,{\bf e}'_m\}$ のある線形結合を用いて

$\begin{eqnarray} f({\bf e}_j)=\sum_{i=1}^ma_{ij}{\bf e}'_i\tag{5} \end{eqnarray}$

と書けます。
(5)を(4)に代入します。

$\begin{eqnarray} {\bf u}'&=&\sum_{j=1}^nu_j\sum_{i=1}^ma_{ij}{\bf e}'_i\\ &=&\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^ma_{ij}u_j\right){\bf e}'_i\tag{6} \end{eqnarray}$

(3)と(6)を比較すると、

$\begin{eqnarray} u'_i=\sum_{i=1}^ma_{ij}u_j\tag{7} \end{eqnarray}$

であることが分かります。

これはベクトル $\bf u$ がベクトル ${\bf u}'$ に、 $a_{ij}$ を要素とする行列を掛けた積として、

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}u'_1\\ \vdots \\ u'_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\ \vdots \\ u_n\end{pmatrix} \end{eqnarray}$