機械学習基礎理論独習

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部分集合と集合の相等

集合論

定義 1.7

$2$ つの集合 $A,B$ について、 $A$ の要素がすべて $B$ の要素であるとき、 $A$ は $B$ の部分集合であるといい、

$\begin{eqnarray} A\subseteq B または B\supseteq A \end{eqnarray}$

で表す。

$A\subseteq B$ であるとは、条件

$\begin{eqnarray} (\forall x)(x\in A\ ならば\ x\in B) \end{eqnarray}$

または

$\begin{eqnarray} (\forall x\in A)(x\in B) \end{eqnarray}$

が満たされることです。

註 1.9

集合 $A$ が集合 $B$ の部分集合でない、すなわち、 $A\not\subseteq B$ であるとは、条件

$\begin{eqnarray} (\exists x)(x\in A\ かつ\ x\in B) \end{eqnarray}$

が満たされることである。

定義 1.10

$2$ つの集合 $A,B$ について、 $A\subseteq B$ と $B\subseteq A$ が同時に成立するとき、 $A$ と $B$ は等しいといい、 $A=B$ で表す。

命題 1.11

$(1)$ $A\subseteq A,$ (反射律)
$(2)$ $A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ ならば、 $A=B$ (反対象律)
$(3)$ $A\subseteq B$ かつ $B\subseteq C$ ならば、 $A\subseteq C$ (推移律)

定義 1.12

集合 $A$ に対して、 $A$ の部分集合全体の集合を $A$ のべき集合といい、 ${\mathcal P}(A)$ で表す。

べき集合は他にも $2^A$ と表したりもします。
べき集合の例として、 $A=\{a,b\}$ のとき、 ${\mathcal P}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},A\}$ です。

参考文献

はじめての集合と位相 p4-

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