直積集合 - 機械学習基礎理論独習

定義 3.1

$2$ つの集合 $A,B$ に対して、次のように定める。

$\begin{eqnarray} A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}. \end{eqnarray}$

ここで、 $(a, b)$ は、 $A$ の要素 $a$ の後に $B$ の要素 $b$ を並べて作った組である。
集合 $A\times B$ を $A$ と $B$ の直背集合または単に直積という。直線集合 $A\times A$ を $A^2$ と書く。
直積集合の要素 $(a, b)$ に対し、 $a$ をその第 $a$ 座標、 $b$ をその第 $2$ 座標という。

定義 3.4

$n$ 個の集合 $A_1,a_2,\cdots,A_n$ に対して、それらの直積集合を

$\begin{eqnarray} A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n):a_1\in A_1,a_2\in A_2,\cdots,a_n\in A_n\} \end{eqnarray}$

によって定める。ここで、 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ は、各 $i=1,2,\cdots,n$ について、集合 $A_i$ から要素 $a_i$ を $1$ つずつ選び、それらを順に並べて作った組である。直積集合 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$ を、

$\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^nA_n \end{eqnarray}$

と表すこともできる。特に、 $A=A_1=A_2=\cdots=A_n$ のとき、この直積集合を $A^n$ で表す。直積集合の要素 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ と各 $i=1,2,\cdots,n$ に対し、 $a_i$ をその第 $i$ 座標という。

参考文献

はじめての集合と位相 p25-p28