機械学習基礎理論独習

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距離空間

位相空間

定義 8.6

集合 $X$ と関数 $d:X\times X\longrightarrow {\mathbb R}$ が与えられ、任意の $x,y,z\in{\mathbb R}$ に対して、次の $3$ つのことが成り立つとする。
$(M1)$ $d(x,y)\geq 0.$ さらに、 $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y.$
$(M2)$ $d(x,y)=d(y,x).$
$(M3)$ $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$ (三角不等式)
このとき、 $d$ を $X$ 上の距離関数という。

ユークリッドの距離関数 $d_2$ は ${\mathbb R}^n$ 上の距離関数です。(定理 8.5)

定義 8.7

距離関数 $d:X\times X\longrightarrow{\mathbb R}$ が $1$ つ定められた集合 $X$ を距離空間とよび、 $X,d)$ で表す。距離関数 $d$ を明する必要がない場合は、 $(X,d)$ を単に $X$ と略記する。距離空間 $(X,d)$ において、 $X$ の要素を $(X,d)$ の点とよび、 $2$ 点 $x,y\in X$ に対し、 $d(x,y)$ を $x,y$ 間の距離という。

ユークリッド空間 ${\mathbb E}^n=({\mathbb R}^n, d)$ は距離空間です。

参考文献

はじめての集合と位相 p104-p106

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