機械学習基礎理論独習

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もし、三角関数の加法定理を忘れたら

はじめに

三角関数の加法定理を忘れたと仮定します。
どうやって、加法定理を導けばよいでしょうか？
私なりの方法を記します。

まず、回転行列を導く

まず、回転行列を導いてみます。
点 (1,0) と点 (0,1) を \theta 回転することで、回転行列を導くことができます。

点 (1,0) を \theta 回転すると、(\cos\theta,\sin\theta) となるので、回転行列の 第 1 列がわかります。

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\cos\theta & ?\\ \sin\theta & ?\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}\tag{1} \end{eqnarray}

点 (0,1) を \theta 回転すると、(-\sin\theta,\cos\theta) となるので、回転行列の 第 2 列がわかります。

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}? & -\sin\theta\\ ? & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\tag{2} \end{eqnarray}

式 (1),(2) より、回転行列が導けました。

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\tag{3} \end{eqnarray}

次に、\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta) を導く

回転行列を使って、\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta) を求めることができます。

点 (1,0) を \alpha + \beta 回転すると、(\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta)) となるので、以下の式が成り立ちます。

\begin{eqnarray} &&\begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta& \cos\beta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\alpha& -\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(\alpha + \beta)\\\sin(\alpha + \beta)\end{pmatrix}\\ &&\Leftrightarrow \begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta& \cos\beta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(\alpha + \beta)\\\sin(\alpha + \beta)\end{pmatrix}\\ &&\Leftrightarrow \begin{pmatrix}\cos\beta\cos\alpha-\sin\beta\sin\alpha\\\sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(\alpha + \beta)\\\sin(\alpha + \beta)\end{pmatrix}\tag{4} \end{eqnarray}

式 (4) より、\cos(\alpha + \beta),\sin(\alpha + \beta) が導けました。
(見慣れた加法定理とは見た目が違いますが。)

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