機械学習基礎理論独習

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連続写像(距離空間)

注意

本記事は距離空間の記事であることを意識してください。

定義 9.1

距離空間 (X,d) の点 x と正数 \epsilon に対して、集合

\begin{eqnarray}
U(x,\epsilon)=\{y\in X:d(x,y) < \epsilon\}
\end{eqnarray}
x\epsilon-近傍という。特に、距離空間 (X,d) または X における \epsilon-近傍であることを強調するときには、U(X,d,x,\epsilon) または U(X,x,\epsilon) と書く。

任意の点 x\in{\mathbb E}^1 に対し、U({\mathbb E}^1,x,\epsilon)=(x-\epsilon,x+\epsilon) です。

補題 9.2

任意の写像 f:(X,d_X)\rightarrow(Y,d_Y) と任意の点 x\in X に対して、下の連続性の 3 条件は同値である。

(A) (X,d_X) の任意の点列 \{x_n\} に対して、

\begin{eqnarray}
x_n\rightarrow x\ ならば\ f(x_n)\rightarrow f(x)\tag{9.1}
\end{eqnarray}
が成立する。
(B) 任意の正数 \epsilon に対して、ある正数 \delta が存在して、
\begin{eqnarray}
f(U(X,x,\epsilon))\subseteq U(Y,f(x),\epsilon)\tag{9.2}
\end{eqnarray}
が成立する。
(C) 任意の正数 \epsilon に対して、ある正数 \delta が存在して、
\begin{eqnarray}
(\forall y\in X)(d_X(x,y)<\delta\ ならば\ d_Y(f(x),f(y)) < \epsilon)\tag{9.3}
\end{eqnarray}
が成立する。

定義 9.4

写像 f:(X,d_X)\rightarrow(Y,d_Y) が点 x\in X において、条件 (A),(B),(C)1 つを満たすとき、 fx で連続であるという。

定義 9.5

写像 f:(X,d_X)\rightarrow(Y,d_Y) がすべての点 x\in X で連続のとき、f は連続である、または、f連続写像であるという。

特に (X,d_X)=(Y,d_Y)={\mathbb E}^1 のとき、条件 (C) は次のように表せます。
(C') 任意の正数 \epsilon に対して、ある正数 \delta が存在して、

\begin{eqnarray}
(\forall y\in X)(| x-x' |)<\delta\ ならば\ | f(x) - f(x')|) < \epsilon)\tag{9.8}
\end{eqnarray}
が成立します。

命題 9.6

距離空間 X,Y,Z写像 f:X\rightarrow Y,\ g:Y\rightarrow Z に対し、fg が共に連続ならば、合成写像 g\circ g:X\rightarrow Z は連続である。

命題 9.7

距離空間 X から距離空間 Y への写像 f が連続のとき、X の任意の部分空間 A に対し、制限写像 f\upharpoonright_A:A\rightarrow Y は連続である。

補題 9.8

写像 f:(X,d_X)\rightarrow(Y,d_Y) に対して、定数 r\geq 0 が存在して、

\begin{eqnarray}
(\forall x,y\in X)(d_Y(f(x),f(y))\leq r\cdot d_X(x,y))\tag{9.9}
\end{eqnarray}
が成り立つとする。このとき、f連続写像である。

定義 9.9

補題 9.8 の条件を満たす写像 f をリプシッツ写像とよび、そのときの定数 r をリプシッツ定数という。リプシッツ定数が 1 未満のリプシッツ写像は縮小写像と呼ばれる。また、写像 f:(X,d_X)\rightarrow(Y,d_Y) が条件

\begin{eqnarray}
(\forall x,y\in X)(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y))
\end{eqnarray}
を満たすとき、f は等距離写像であるという。

恒等写像 id_X:(X,d_X)\rightarrow(X,d_X) は等距離写像です。
任意の等距離写像はリプシッツ定数 1 のリプシッツ写像です。
任意のリプシッツ写像連続写像です。

参考文献

はじめての集合と位相 p113-p118

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