注意
本記事は距離空間の記事であることを意識してください。
任意の点 に対し、 です。
補題 9.2
任意の正数 に対して、ある正数 が存在して、が成立する。
任意の正数 に対して、ある正数 が存在して、が成立する。
任意の写像 と任意の点 に対して、下の連続性の 条件は同値である。
の任意の点列 に対して、
が成立する。任意の正数 に対して、ある正数 が存在して、が成立する。
任意の正数 に対して、ある正数 が存在して、が成立する。
定義 9.4
写像 が点 において、条件 の つを満たすとき、 は で連続であるという。
特に のとき、条件 は次のように表せます。
任意の正数 に対して、ある正数 が存在して、
定義 9.9
補題 9.8 の条件を満たす写像 をリプシッツ写像とよび、そのときの定数 をリプシッツ定数という。リプシッツ定数が 未満のリプシッツ写像は縮小写像と呼ばれる。また、写像 が条件
を満たすとき、 は等距離写像であるという。恒等写像 は等距離写像です。
任意の等距離写像はリプシッツ定数 のリプシッツ写像です。
任意のリプシッツ写像は連続写像です。
参考文献
はじめての集合と位相 p113-p118