機械学習基礎理論独習

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位相同型写像

位相空間

定義 9.14

距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像 $f$ が全単射であって、 $f$ とその逆写像 $f^{-1}$ が共に連続であるとき、 $f$ を位相同型写像または同型写像とよぶ。

定義 9.15

距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への位相同型写像が存在するとき、 $X$ と $Y$ は位相同型であるといい、 $X\approx Y$ で表す。

定理 9.16

任意の距離空間 $X,Y,Z$ に対して、次が成り立つ。
$(1)$ $X\approx X,$ (反射律)
$(2)$ $X\approx Y$ ならば $Y\approx X,$ (対称律)
$(3)$ $X\approx Y$ かつ $Y\approx Z$ ならば、 $X\approx Z.$ (推移律)

定義 9.20

任意の集合 $X$ 上の $2$ つの距離関数 $d,d'$ に対し、恒等写像

$\begin{eqnarray} id_X:(X,d)\rightarrow(X,d') \end{eqnarray}$

位相同型写像のとき、 $d$ と $d'$ は位相的に同値であるという。

参考文献

はじめての集合と位相 p188-p121

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