周期2πの周期関数f(x)のフーリエ級数

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ のフーリエ級数(Ⅰ)

$-\pi < x\leq \pi$ で定義された周期 $2\pi$ の区分的に滑らかな周期関数 $f(x)$ は不連続点を除けば、次のようにフーリエ級数で表すことができる。

$\begin{eqnarray} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\tag{1} \end{eqnarray}$

$(1)$ の右辺を、 $f(x)$ の"フーリエ級数" または "フーリエ級数展開" と呼ぶ。
また、 $a_k(k=0,1,\cdots),\ b_k(k=1,2,\cdots)$ を "フーリエ係数" といい、それぞれ次式で求める。

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_k=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x) \cdot \cos kx dx\ (k=0,1,\cdots)\\ b_k=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x) \cdot \sin kx dx\ (k=1,2,\cdots)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

以下、導出です。

$(i)$ $a_0$ の決定
$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+\cdots+b_1\sin x+b_2\sin2x+\cdots\ \ \ \ (1')$
の両辺に $1$ をかけて、区間 $[-\pi,\pi]$ で積分すると、

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi 1\cdot f(x) dx&=&\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\left(\dfrac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos 2x+\cdots+b_1\sin x+b_2\sin2x+\cdots\right)dx\\ &=&\dfrac{a_0}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^\pi 1\cdot 1 dx}_{|| 1 ||^2=[x]_{-\pi}^\pi=2\pi}+a_1\underbrace{\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\cos x dx}_{(1,\ {\cos}x)=0}+a_2\underbrace{\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\cos 2x dx}_{(1,\ {\cos}2x)=0}\\ &+&b_1\underbrace{\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\sin x dx}_{(1,\ {\sin}x)=0}+b_2\underbrace{\int_{-\pi}^\pi 1\cdot\sin 2x dx}_{(1,\ {\sin}2x)=0}\\ &=&\dfrac{a_0}{2}\cdot 2\pi\\ &=&a_0 \end{eqnarray}$

$\therefore a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi1\cdot f(x) dx\ \ \ \ \cdots\cdots(a)$

$(ii)$ $a_k(k=1,2,\cdots)$ の決定
$(1')$ の両辺に $\cos kx\ (k=1,2,\cdots)$ をかけて、区間 $[-\pi,\pi]$ で積分すると、

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi \cos kx\cdot f(x) dx&=&\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cdot\left(\dfrac{a_0}{2}+a_1\cos x+\cdots+a_k\cos kx+\cdots+b_1\sin x+b_2\sin2x+\cdots\right)dx\\ &=&\dfrac{a_0}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^\pi 1\cdot \cos kx dx}_{(1,\ {\cos}kx)=0}+a_1\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cdot\cos x dx}_{({\cos}kx,\ {\cos}x)=0}+\cdots+a_k\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cdot\cos kx dx}_{({\cos}kx,\ {\cos}kx)=\pi}+\cdots\\ &+&b_1\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cdot\sin x dx}_{({\cos}kx,\ {\sin}x)=0}+b_2\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cdot\sin 2x dx}_{({\cos}kx,\ {\sin}2x)=0}+\cdots\\ &=&a_k\pi \end{eqnarray}$

$\therefore a_k=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot \cos kx dx\ \ \ \ \cdots\cdots(b)$
以上 $(a)$ と $(b)$ をまとめて、 $a_k(k=0,1,\cdots)$ は
$a_k=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot \cos kx dx\ \ (k=0,1,\cdots)$ と書ける。

$(iii)$ $b_k(k=1,2,\cdots)$ の決定
$(1')$ の両辺に $\sin kx\ (k=1,2,\cdots)$ をかけて、区間 $[-\pi,\pi]$ で積分すると、

$\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^\pi \sin kx\cdot f(x) dx&=&\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cdot\left(\dfrac{a_0}{2}+a_1\cos x+a_2\cos kx+\cdots+b_1\sin x+\cdots+b_k\sin kx+\cdots\right)dx\\ &=&\dfrac{a_0}{2}\underbrace{\int_{-\pi}^\pi 1\cdot \sin kx dx}_{(1,\ {\sin}kx)=0}+a_1\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cdot\cos x dx}_{({\sin}kx,\ {\cos}x)=0}+\cdots+a_k\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cdot\cos kx dx}_{({\sin}kx,\ {\cos}kx)=0}+\cdots\\ &+&b_1\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cdot\sin x dx}_{({\sin}kx,\ {\sin}x)=0}+\cdots+b_k\underbrace{\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cdot\sin kx dx}_{({\sin}kx,\ {\sin}kx)=\pi}+\cdots\\ &=&b_k\pi \end{eqnarray}$

$\therefore b_k=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi f(x)\cdot \sin kx dx$

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ のフーリエ級数(Ⅱ)

$-\pi < x\leq \pi$ で定義された周期 $2\pi$ の区分的に滑らかな周期関数 $f(x)$ フーリエ級数展開について、次式が成り立つ。

$\begin{eqnarray} \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx)= \left\{ \begin{array}{l} f(x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (f(x)はxで連続)\\ \dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\ \ (f(x)はxで不連続) \end{array} \right. \end{eqnarray}$