関数解析②～距離空間の例～ - 機械学習基礎理論独習

概要

$(1)$ 実数全体の集合 ${\mathbb R}$
$x,y\in{\mathbb R}\Rightarrow d(x,y):=|x-y|$

$(2)$ 有理数全体の集合 ${\mathbb Q}$
$x,y\in{\mathbb Q}\Rightarrow d(x,y):=|x-y|$
※ $({\mathbb R},d)$ は完備性をもつが、 $({\mathbb Q},d)$ は完備性をもたない。(完備性については後述)

$(3)$ $n\in{\mathbb N}$ 、 $n$ 次元ユークリッド空間 ${\mathbb R}^n$
$x\in(x_1,\ldots,x_n),\ y=(y_1,\ldots,y_n)\in{\mathbb R}^n$
・ $d(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}$
・ $d(x,y):=\left((x_1-y_1)^p+\cdots+(x_n-y_n)^p\right)^{\frac{1}{p}}\ (1\leq p<\infty)$
・ $d(x,y):={\rm max}\{|x_1-y_1|,\cdots,|x_n-y_n|\}$

$(4)$ 数列空間 ${\mathscr l}^p\ (1\leq p<\infty)$ ※スクリプト書体のコマンド\mathscrが効かないので、l^pが正しく表示されない
${\mathscr l}^p=\left\{\bigl\{a_n\bigr\}_{n=1}^\infty\ \middle|\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p<\infty\right\}$
$\bigl\{a_n\bigr\}_{n=1}^\infty,\bigl\{b_n\bigr\}_{n=1}^\infty\in{\mathscr l}^p$
$d\left(\bigl\{a_n\bigr\}_{n=1}^\infty,\bigl\{b_n\bigr\}_{n=1}^\infty\right):=\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n-b_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}$
注意 $\bigl\{a_n-b_n\bigr\}_{n=1}^\infty\in{\mathscr l}^p$ という事実がある。

$(5)$ 数列空間 ${\mathscr l}^\infty$
${\mathscr l}^\infty=\left\{\bigl\{a_n\bigr\}_{n=1}^\infty\ \middle|\ \displaystyle\sup_{n\in{\mathbb N}} |a_n|<\infty\right\}$
$\bigl\{a_n\bigr\}_{n=1}^\infty,\bigl\{b_n\bigr\}_{n=1}^\infty\in{\mathscr l}^\infty$
$d\left(\bigl\{a_n\bigr\}_{n=1}^\infty,\bigl\{b_n\bigr\}_{n=1}^\infty\right):=\displaystyle\sup_{n\in{\mathbb N}}|a_n-b_n|$
注意 $\bigl\{a_n-b_n\bigr\}_{n=1}^\infty\in{\mathscr l}^\infty$ という事実がある。

$(6)$ 閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数空間 $C[a,b]$
$f,g\in C[a,b]$
$d(f,g)=\left(\displaystyle\int_a^b|f(x)-g(x)|^p{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}\ (1\leq p<\infty)$ ←の積分はリーマン積分の意味
注意 $f-g\in C[a,b]$ という事実がある。
$d(f,g)=\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|$ これも距離になる。