機械学習基礎理論独習

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関数解析⑥~完備距離空間の例~

概要

完備距離空間の例、完備でない距離空間の例

完備距離空間の例

(1) 実数全体の集合 {\mathbb R},\ d(x,y):=|x-y|\ \ \ \ (x,y\in{\mathbb R}) (定理1参照)

(2) n\in{\mathbb N}, n 次元ユークリッド空間 {\mathbb R}^n
x=(x_1,\\dots,x_n),\ y=(y_1,\ldots,y_n)\in{\mathbb R}^n に対し、
d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}
d(x,y)=\left(|x_1-y_1|^p+\cdots+|x_n-y_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\ \ \ \ (1\leq p < \infty)
d(x,y):=\max\{|x_1-y_1|,\ldots,|x_n-y_n\}
上記のどの距離を採用しても、完備距離空間となる。
(※有限次元ノルム空間のノルムはすべて同値(後述))

(3) 数列空間 l^p\ (1\leq p<\infty)
l^p:=\left\{\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty\middle|\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p < \infty\right\}
\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty,\big\{b_n\big\}_{n=1}^\infty\in l^p に対し、d\left(\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty,\big\{b_n\big\}_{n=1}^\infty\right):=\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n-b_n|^p\right)^\frac{1}{p}

(4) 数列空間 l^\infty)
l^p:=\left\{\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty\middle|\displaystyle\sup_{n\in{\mathbb N}} |a_n| < \infty\right\}
\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty,\big\{b_n\big\}_{n=1}^\infty\in l^\infty に対し、d\left(\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty,\big\{b_n\big\}_{n=1}^\infty\right):=\displaystyle\sup_{n\in{\mathbb N}}|a_n-b_n|

完備でない距離空間の例

(1) 有理数全体の集合 \mathbb Q
d(x,y):=|x-y|\ \ \ \ (x,y\in{\mathbb Q})
証明
\sqrt{2}=1.41421356\cdots,\ x_1=1.4,x_2=1.41,x_3=1.414,\cdots とおくと、
\big\{x_n\big\}_{n=1}^\infty\subset{\mathbb Q} はコーシー列だが、\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\sqrt{2}\not\in{\mathbb Q}.(収束列でない)□

(2) 閉区間 [a,b] 上の連続関数空間 C[a,b]
f,g\in C[a,b] に対し、d(f,g):=\left(\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}\ \ \ \ (1\leq p < \infty) ←リーマン積分の意味

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