ルベーグ積分⑩～σ加法族の定義～ - 機械学習基礎理論独習

概要

σ加法族の定義、定理5の証明

σ加法族の定義

・集合族 $\mathscr A$ が $\sigma$ -加法族(または可算加法族)であるとは、 $\mathscr A$ が次の(i),(ii),(iii)を満たすときにいう。
(i) $A\in{\mathscr A}$ ならば $A^c\in{\mathscr A}$
(ii) $\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty\subset{\mathscr A}$ ならば $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in{\mathscr A}$
注意
以下のように共通部分についても閉じていることが示せる。
$\underline{\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty\subset{\mathscr A}}\underset{(i)}{\Longrightarrow}\big\{{A_n}^c\big\}_{n=1}^\infty\subset{\mathscr A}\underset{(ii)}{\Longrightarrow}\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in{\mathscr A}\underset{(i)}{\Longrightarrow}\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty {A_n}^c\right)^c=\underline{\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\in{\mathscr A}}$

定理5

$\mu$ を $X$ 上の測度とし、 ${\mathscr M}_{\mu}:=\{A\subset X\ |\ A\ は\ \mu\ 可測\}$ とおく。
このとき、 ${\mathscr M}_{\mu}$ は $\sigma$ -加法族になる。

証明
・ $A\in{\mathscr M}_\mu$ 、つまり $A$ は可測 $\underset{補題3(iii)}{\Rightarrow}A^c$ は可測、つまり $A^c\in{\mathscr M}_\mu$
・ $\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty\subset{\mathscr M}_\mu$ 、つまり $\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty$ は可測集合列 $\underset{定理4}{\Rightarrow}\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ は可測、つまり $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in{\mathscr M}_\mu$ .
以上より、 ${\mathscr M}_\mu$ は $\sigma$ -加法族である。□