機械学習基礎理論独習

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PRML演習問題 1.17(標準) www

問題

ガンマ関数は

\begin{eqnarray}
\Gamma(x)\equiv\int_0^\infty u^{x-1}e^{-u}{\rm d}u\tag{1.141}
\end{eqnarray}

で定義される。
部分積分を使って関係式\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)を証明せよ。
また、\Gamma(1)=1を示し、xが整数なら\Gamma(x+1)=x!となることを示せ。

解答

\Gamma(x+1)を計算します。

\begin{eqnarray}
\Gamma(x+1)&=&\int_0^\infty u^{x}e^{-u}{\rm d}u\\
&=&\int_0^\infty u^{x}(-e^{-u})'{\rm d}u\\
&=&\Bigl[u^{x}(-e^{-u})\Bigl]_0^\infty-\int_0^\infty(u^{x})'(-e^{-u}){\rm d}u\\
&=&0-0+\int_0^\infty xu^{x-1}e^{-u}{\rm d}u\\
&=&x\int_0^\infty u^{x-1}e^{-u}{\rm d}u\\
&=&x\Gamma(x)\tag{1}
\end{eqnarray}

(1)より、\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)を示せました。

\Gamma(1)を計算します。

\begin{eqnarray}
\Gamma(1)&=&\int_0^\infty u^{0}e^{-u}{\rm d}u\\
&=&\int_0^\infty e^{-u}{\rm d}u\\
&=&\Bigl[-e^u\Bigl]_0^\infty\\
&=&0-(-1)\\
&=&1\tag{2}
\end{eqnarray}

(2)より、x=1のとき\Gamma(x+1)=x!が成り立ちます。

x=kの時、\Gamma(x+1)=x!が成り立つとすると、以下の式が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\Gamma(k+1)=k!\tag{3}
\end{eqnarray}

\Gamma(k+2)を計算します。

\begin{eqnarray}
\Gamma(k+2)&=&(k+1)\Gamma(k+1)\tag{4}
&=&(k+1)k!\\
&=&(k+1)!\tag{5}
\end{eqnarray}

(4)で、式(1)を用いました。
(5)より、x=kの時、\Gamma(k+1)=k!が成り立ちます。

以上より、xが整数なら\Gamma(x+1)=x!となることが示せました。

補足

積分の部分積分は以下の式です。

\begin{eqnarray}
\int_a^bf(x)g'(x){\rm d}x=\Bigl[f(x)g(x)\Bigl]_a^b-\int_a^bf'(x)g(x){\rm d}x\tag{6}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\int_a^bf'(x)g(x){\rm d}x=\Bigl[f(x)g(x)\Bigl]_a^b-\int_a^bf(x)g'(x){\rm d}x\tag{7}
\end{eqnarray}

部分積分の公式(6),(7)は、以下の積の微分から求められますので、覚えなくてもよいと思います。

\begin{eqnarray}
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\tag{8}
\end{eqnarray}

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