問題
次元の単位球の表面積 、体積 を導くのに を使うことができる。
これにはまず、直交座標から極座標への変換から導かれる
という事実を考える。
ガンマ関数の定義 と からこの式の両辺を評価し、
を示せ。
次に半径 から まで積分し、 次元単位球の体積が
で与えられることを示せ。
最後に および から、 と が および の通常の表現に帰着されることを示せ。
参照
解答
のとき、式より、以下が成り立ちます。
式の左辺 を計算します。
とおいて、式の右辺 を計算します。
式より、以下が成り立ちます。
式より、式が示せました。
半径 の時の 次元超球の体積は、 なので、これを から まで積分します。
式 より、式 が示せました。
を計算します。
を計算します。
式 より、 と が および の通常の表現に帰着されることを示せました。