PRML演習問題 1.19(標準) - 機械学習基礎理論独習

問題

$D$ 次元の半径 $a$ の球と、同じ中心を持つ一辺 $2a$ の超立方体を考える球面は超立方体の各面の中心で接している。
演習問題 $1.18$ の結果を使って、球の体積と立方体の体積の比が

$\begin{eqnarray} \frac{球の体積}{立方体の体積}=\frac{\pi^{D/2}}{D2^{D-1}\Gamma(D/2)}\tag{1.145} \end{eqnarray}$

で与えられることを示せ。
スターリングの公式

$\begin{eqnarray} \Gamma(x+1)\simeq(2\pi)^{1/2}e^{-x}x^{x+1/2}\tag{1.146} \end{eqnarray}$

が $x\gg 1$ で成り立つことを使って $D\rightarrow\infty$ の極限で比の値 $(1.145)$ が $0$ に収束することを示せ。
また、超立方体の中心から $1$ つの頂点までの距離を中心から側面までの距離で割った比が $\sqrt{D}$ となることを示し、
$D\rightarrow\infty$ のとき $\infty$ に発散することを示せ。
これらの結果から、高次元空間では立方体の体積のほとんどはたくさんの頂点に集中し、非常に長い「スパイク」になっていることがわかる！

参照

$\begin{eqnarray} S_D=\frac{2\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)}\tag{1.143} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} V_D=\frac{S_D}{D}\tag{1.144} \end{eqnarray}$

解答

式 $(1.144)$ より、 $D$ 次元の半径 $a$ の超球の体積は、 $V_D\cdot a^D$ です。
また、 $D$ 次元の一辺 $2a$ の超立方体の体積は、 $(2a)^D$ です。

$\dfrac{球の体積}{立方体の体積}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \dfrac{球の体積}{立方体の体積}&=&\frac{V_D\cdot a^D}{(2a)^D}\\ &=&\frac{V_D}{2^D}\\ &=&\underbrace{\frac{S_D}{D}}_{(1.144)}\cdot\frac{1}{2^D}\\ &=&\underbrace{\frac{2\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)}}_{(1.143)}\cdot\frac{1}{2^DD}\\ &=&\frac{\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)}\cdot\frac{1}{2^{D-1}D}\tag{1}\\ &=&\underbrace{\frac{\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2+1)}\cdot\frac{D}{2}}_{\Gamma(D/2)=(2/D)\Gamma(D/2+1)}\cdot\frac{1}{2^{D-1}D}\\ &=&\frac{\pi^{D/2}}{\Gamma(D/2+1)}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{D-1}}\\ &\simeq&\frac{\pi^{D/2}}{2^D}\cdot\frac{1}{\underbrace{(2\pi)^{1/2}\cdot e^{-D/2}\cdot(D/2)^{D/2+1/2}}_{(1.146)}}\ (D\gg 1)\\ &=&\left(\frac{\pi e}{2D}\right)^{{D}/{2}}\cdot\frac{1}{\pi D}\\ &\rightarrow&0\ (D\rightarrow \infty)\tag{2} \end{eqnarray}$

式 $(1)$ より、式 $(1.145)$ が示せました。
式 $(2)$ より、 $D\rightarrow\infty$ の極限で式 $(1.145)$ が $0$ に収束することを示せました。

超立方体の中心から $1$ つの頂点までの距離は、 $\sqrt{a^2+\cdots+a^2}=\sqrt{Da^2}=a\sqrt{D}$ です。
超立方体の中心から側面までの距離は、 $\sqrt{a^2+0^2+\cdots+0^2}=\sqrt{a^2}=a$ です。

$\dfrac{頂点までの距離}{側面までの距離}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \dfrac{頂点までの距離}{側面までの距離}&=&\frac{a\sqrt{D}}{a}\\ &=&\sqrt{D}\tag{3}\\ &\rightarrow&\infty\ (D\rightarrow \infty)\tag{4} \end{eqnarray}$

式 $(3)$ より、超立方体の中心から $1$ つの頂点までの距離を中心から側面までの距離で割った比が
$\sqrt{D}$ となることを示せました。

式 $(4)$ より、 $D\rightarrow\infty$ のとき、超立方体の中心から $1$ つの頂点までの距離を中心から側面までの距離で割った比が
$\infty$ に発散することが示せました。