問題
連続変数上で定義された確率密度を考える。
により非線形変換を施すと密度はの変換を受ける。
を微分して、に関する密度を最大にする位置とに関する密度を最大にする位置とが、
ヤコビ因子の影響により一般には単純なという関係にないことを示せ。
これは確率密度の最大値が、(通常の関数と異なり)変数の選択に依存することを示している。
線形変換の場合には最大値の位置が変数自身と同じ変換を受けることを確かめよ。
参照
解答
式を見やすくするため、変形します。
式は両辺ともに関する関数なので、で微分します。
ここで、問題文より、以下が成り立ちます。
とします。を式に代入します。
という関係にあれば、がいえるはずですが、式より一般にそうは言えません。
よって、一般には単純なという関係にないことを示せました。
線形変換の場合には、式のがとなるので、です。
よって、線形変換の場合には、という関係が成り立ち、最大値の位置が変数自身と同じ変換を受けます。