PRML演習問題 1.40(基本)

問題

イェンセンの不等式 $(1.115)$ を $f(x)=\ln x$ に適用し実数集合の算術予均が、
幾何平均より決して小さくならないことを示せ。

参照

$\begin{eqnarray} f\left(\sum_{i=1}^M\lambda_ix_i\right)\leqslant\sum_{i=1}^M\lambda_i f(x_i)\tag{1.115} \end{eqnarray}$

解答

式 $(1.115)$ において、 $f(x)=\ln x,\lambda_i=1 / M$ を考えます。
この時 $f$ は上に凸の関数であるので、式 $(1.115)$ の不等号の向きは逆になり、以下の式が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} &&\ln\left(\sum_{i=1}^M\frac{1}{M}x_i\right)\geqslant\sum_{i=1}^M\frac{1}{M}\ln x_i\\ &&\Leftrightarrow\ln\left(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^Mx_i\right)\geqslant\ln\prod_{i=1}^Mx_i^{\frac{1}{M}}\\ &&\Leftrightarrow\ln\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{M}\right)\geqslant\ln\sqrt[M]{x_1\cdots x_n}\tag{1} \end{eqnarray}$