問題
この演習問題では.、変数ガウス分布に関する規格化条件を証明するこのために、積分
を考え、その
乗を
の形で書いて評価する直交座標系から極座標に変換し、を代入する。
とに関する積分を実行し、両辺の平方根を取ることにより、
が得られることを示せ。
最後にこの結果から
ガウス分布が規格化されていることを示せ。
解答
とおきます。
ヤコビアンを計算します。
式
を計算します。
式
の
平方根を取ると以下のようになります。
式
より、式
が示せました。
ガウス分布を積分します。
式
で
と変数変換しました。(平行移動と考えてもよいので、変数を変えなくてもよいと思います。)
式
より、
ガウス分布が規格化されていることが示せました。