PRML演習問題 2.26(標準) - 機械学習基礎理論独習

問題

非常に有用な線形代数の結果であるWoodburyの行列反転公式(Woodbury matrix inversion formula)は、

$\begin{eqnarray} ({\bf A}+{\bf B}{\bf C}{\bf D})^{-1}={\bf A}^{-1}-{\bf A}^{-1}{\bf B}({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})^{-1}{\bf D}{\bf A}^{-1}\tag{2.289} \end{eqnarray}$

である。この両辺に $({\bf A}+{\bf B}{\bf C}{\bf D})$ を掛けて、この公式を証明せよ。

解答

式 $(2.289)$ の左辺に左から $({\bf A}+{\bf B}{\bf C}{\bf D})$ を掛けます。

$\begin{eqnarray} ({\bf A}+{\bf B}{\bf C}{\bf D})({\bf A}+{\bf B}{\bf C}{\bf D})^{-1}={\bf I}\tag{1} \end{eqnarray}$

式 $(2.289)$ の右辺に左から $({\bf A}+{\bf B}{\bf C}{\bf D})$ を掛けます。

$\begin{eqnarray} &&({\bf A}+{\bf B}{\bf C}{\bf D})({\bf A}^{-1}-{\bf A}^{-1}{\bf B}({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})^{-1}{\bf D}{\bf A}^{-1})\\ &=&{\bf I}-{\bf B}({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})^{-1}{\bf D}{\bf A}^{-1}+{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}-{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B}({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})^{-1}{\bf D}{\bf A}^{-1}\\ &=&{\bf I}+{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}-({\bf B}+{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B}){\bf D}{\bf A}^{-1}\\ &=&{\bf I}+{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}-{\bf B}({\bf I}+{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B}){\bf D}{\bf A}^{-1}\\ &=&{\bf I}+{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}-{\bf B}({\bf C}{\bf C}^{-1}+{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B}){\bf D}{\bf A}^{-1}\\ &=&{\bf I}+{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}-{\bf B}{\bf C}({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B})({\bf C}^{-1}+{\bf D}{\bf A}^{-1}{\bf B}){\bf D}{\bf A}^{-1}\\ &=&{\bf I}+{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}-{\bf B}{\bf C}{\bf D}{\bf A}^{-1}\\ &=&{\bf I}\tag{2} \end{eqnarray}$

式 $(1),(2)$ より、式 $(2.289)$ が証明できました。