機械学習基礎理論独習

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PRML演習問題

$f(x)$ が正規化されていれば密度 $(2.236)$ も正規化されていることを $y=x/\sigma$ と変数を変換することで示せ。

$\begin{eqnarray} p(x|\sigma)=\frac{1}{\sigma}f\left(\frac{x}{\sigma}\right)\tag{2.236} \end{eqnarray}$

$\displaystyle\int p(x|\sigma){\rm d}x$ を計算します。

$\begin{eqnarray} \int p(x|\sigma){\rm d}x&=&\int \frac{1}{\sigma}f\left(\frac{x}{\sigma}\right){\rm d}x\tag{1} \end{eqnarray}$

式 $(1)$ を $y=x/\sigma$ と変数変換します。( ${\rm d}x=\sigma{\rm d}y$ が成り立ちます。)

$\begin{eqnarray} \int p(x|\sigma){\rm d}x&=&\int \frac{1}{\sigma}f(y)\sigma{\rm d}y\\ &=&\int f(y){\rm d}y\\ &=&1\tag{2} \end{eqnarray}$

式 $(2)$ より、 $f(x)$ が正規化されていれば密度 $(2.236)$ も正規化されていることを示せました。

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