問題
の事前分布がベータ分布 である二項分布 に従う確率変数 を考える。
ここで、 の事象が 回、 が 回生じたとする。
このとき、 の事後平均が、事前平均と の最尤推定量の間の値になることを示せ。
これには、事前平均の 倍と、最尤推定量の 倍の和で、事後平均が書けることを示せばよい。
ただし、 である。
よって、事後分布が、事前分布と最尤推定解との間のものになることが分かる。
参照
解答
事前分布 を
とします。
事前平均 は以下のようになります。
の事象が 回、 が 回生じたときの事後分布 は、式 となります。
事後平均 は以下のようになります。
の事象が 回、 が 回生じたときの最尤推定量 は、以下のようになります。
事前平均の 倍と、最尤推定量の 倍の和で、事後平均を表すと以下のようになります。
式 を について解きます。
の時、式 は任意の について成り立ちます。
の時、式 は以下のようになります。
より、
となります。
以上より、 の事後平均が、事前平均と の最尤推定量の間の値になることが示せました。