機械学習基礎理論独習

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PRML演習問題 6.4(基本)

PRML演習問題
問題

付録 C では、要素がすべて正であるが、負の固有値をもつために、
正定値ではない行列の例を紹介している。
逆に、2\times 2 行列で、すべての固有値が正であるが、
少なくとも 1 つの負の要素をもつような行列を挙げよ。

解答

以下の行列が題意を満たします。

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}3 & -2\\-3 & 3\end{pmatrix}\tag{1} \end{eqnarray}

式 (1) の固有値を求めます。

\begin{eqnarray} &&(3-\lambda)(3-\lambda)-6=0\\ &&\Leftrightarrow\lambda^2-6\lambda+3=0\\ &&\Leftrightarrow\lambda=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot 1\cdot 3}}{2}\\ &&\Leftrightarrow\lambda=3\pm\sqrt{6}>0\tag{2} \end{eqnarray}

式 (2) より、固有値が正であることが分かります。

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