PRML演習問題 8.23(標準) www - 機械学習基礎理論独習

問題

$8.4.4$ 節において、因子グラフの変数ノード $x_i$ 上の周辺分布 $p(x_i)$ が、
隣接因子ノードからこのノードに伝わるメッセージの積として $(8.63)$ の形で与えられることを示した。
$x_i$ に接続されるリンクを $1$ つ選んだとする。
周辺分布 $p(x_i)$ はこの $1$ つのリンクに沿って入ってくるメッセージと同じリンクに沿って出ていく
メッセージとの積として書くこともできることを示せ。

参照

$\begin{eqnarray} p(x)&=&\prod_{s\in{\rm ne}(x)}\left(\sum_{X_s}F_s(x,X_s)\right)\\ &=&\prod_{s\in{\rm ne}(x)}\mu_{f_s\rightarrow x}(x)\tag{8.63} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \mu_{x_m\rightarrow f_s}(x_m)&=&\prod_{l\in{\rm ne}(x_m)\backslash f_s}\left(\sum_{X_{lm}}F_l(x_m,X_{lm})\right)\\ &=&\prod_{l\in{\rm ne}(x_m)\backslash f_s}\mu_{f_l\rightarrow x_m}(x_m)\tag{8.69} \end{eqnarray}$

解答

$x_i$ に接続されるリンクを $f_s$ とすると、式 $(8.63)$ は次のように書けます。

$\begin{eqnarray} p(x)&=&\prod_{s\in{\rm ne}(x)}\mu_{f_s\rightarrow x}(x)\\ &=&\mu_{f_s\rightarrow x}(x)\prod_{t\in{\rm ne}(x)\backslash f_s}\mu_{f_t\rightarrow x}(x)\\ &=&\mu_{f_s\rightarrow x}(x)\underbrace{\mu_{x_i\rightarrow f_s}(x)}_{(8.69)}\tag{1} \end{eqnarray}$

式 $(1)$ より、周辺分布 $p(x_i)$ は接続されるリンクに沿って出入りするメッセージとの積として書くこともできることが示せました。