PRML演習問題 8.9(基本) www - 機械学習基礎理論独習

有向グラフにおいて、マルコフブランケット内のすべてのノードに条件付けられたノード ${\bf x}$ の条件付き分布が、
グラフの残りの変数に対して独立であることを有向分離規準を用いて示せ。

有向分離基準を適用するには、中央ノード $x_i$ からマルコフブランケットの外部にある
すべての可能なノードへのすべての可能なパスを考慮する必要があります。

以下の5つに分けて検討します。

パターン1
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$x_1$ または $x_2$ に親ノード存在する場合は
$x_7$ から $x_i$ への経路は、 $x_1$ または $x_2$ でhead-to-tailであり且つ観測済みであるため、
経路を遮断します。

パターン2
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$x_1$ または $x_2$ に子ノード存在する場合は
$x_7$ から $x_i$ への経路は、 $x_1$ または $x_2$ でtail-to-tailであり且つ観測済みであるため、
経路を遮断します。

パターン3
f:id:olj611:20211002051425p:plain:w250

$x_3$ または $x_4$ に親ノード存在する場合は
$x_7$ から $x_i$ への経路は、 $x_3$ または $x_4$ でhead-to-tailであり且つ観測済みであるため、
経路を遮断します。

パターン4
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$x_3$ または $x_4$ に子ノード存在する場合は
$x_7$ から $x_i$ への経路は、 $x_3$ または $x_4$ でtail-to-tailであり且つ観測済みであるため、
経路を遮断します。

パターン5
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$x_5$ または $x_6$ に子ノード存在する場合は
$x_7$ から $x_i$ への経路は、 $x_5$ または $x_6$ でhead-to-tailであり且つ観測済みであるため、
経路を遮断します。

上記の全パターンで、 $x_7$ から $x_i$ への経路が遮断することがいえたので、題意が示せました。

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マルコフブランケットを考えているので、 $x_5$ または $x_6$ に親ノード存在する場合は考慮する必要がありません。