問題
図で示すような、混合ガウスモデルの有向グラフを考える。
節で議論した有向分離の規準を利用して、
潜在変数の事後分布が次式のように各データ点ごとの事後分布の積になることを示せ。
参照
図
解答
図をプレートを使わないで描くと、次のようになります。
図1
図より、からへの経路はのいずれかでtail-to-tailで観測済みであるため、遮断されます。
よって、以下の式が成り立ちます。
式より、以下が成り立ちます。
また、図より、のいずれかからのいずれかへの経路はのいずれかでtail-to-tailで観測済みであるため、遮断されます。
よって、以下の式が成り立ちます。
式より、以下が成り立ちます。
を計算します。
式より、式が示せました。
補足
PRML下巻p91より、
塗りつぶされた小さい円で示されるなどのパラメータのノードを通る経路は必ずtail-to-tailで、
有向分離性に影響はない、とあるので本問題はこれらのノードは無視して考えてもよいと思います。