CGでよく見かけるベクトルに関する公式の導出

はじめに

CGを勉強していると、よく見かける公式があります。
そういや、導出してなかったなって思ったので、導出することにしました。
どれも地道に計算するだけです。それもまた一興。

ベクトル3重積の公式

${\bf a},{\bf b},{\bf c}\in{\mathbb R}^3$ に関して以下が成り立つ。

$\begin{eqnarray} {\bf a}\times({\bf b}\times{\bf c})=({\bf a}^\top{\bf c}){\bf b}-({\bf a}^\top{\bf b}){\bf c}\tag{1} \end{eqnarray}$

[証明]
式 $(1)$ の左辺 ${\bf a}\times({\bf b}\times{\bf c})$ を計算します。

$\begin{eqnarray} {\bf a}\times({\bf b}\times{\bf c})&=&{\bf a}\times \begin{pmatrix} b_yc_z-b_zc_y\\ b_zc_x-b_xc_z\\ b_xc_y-b_yc_x \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} a_yb_xc_y-a_yb_yc_x-a_zb_zc_x+a_zb_xc_z\\ a_zb_yc_z-a_zb_zc_y-a_xb_xc_y+a_xb_yc_x\\ a_xb_zc_x-a_xb_xc_z-a_yb_yc_z+a_yb_zc_y \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} (a_xb_x+a_yc_y+a_zb_z)b_x-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_x\\ (a_xb_x+a_yc_y+a_zc_z)b_y-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_y\\ (a_xb_x+a_yc_y+a_zc_z)b_z-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_z \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} {\bf a}^\top{\bf c}\cdot b_x-{\bf a}^\top{\bf b}\cdot c_x\\ {\bf a}^\top{\bf c}\cdot b_y-{\bf a}^\top{\bf b}\cdot c_y\\ {\bf a}^\top{\bf c}\cdot b_z-{\bf a}^\top{\bf b}\cdot c_z \end{pmatrix}\\ &=&({\bf a}^\top{\bf c}){\bf b}-({\bf a}^\top{\bf b}){\bf c}\tag{2} \end{eqnarray}$

以上より、式 $(1)$ が成り立つことが示せました。
[証明終わり]

射影を行列とベクトルの積にする公式

${\bf a},{\bf b}\in{\mathbb R}^3$ に関して以下が成り立つ。

$\begin{eqnarray}({\bf a}^\top{\bf b}){\bf b} = \begin{pmatrix} b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\tag{3}\end{eqnarray}$

証明前に、一言。 ${\bf a}$ を ${\bf b}$ に射影すると、 $\dfrac{{\bf a}^\top{\bf b}}{\|{\bf b}\|^2}{\bf b}$ です。
[証明]
式 $(3)$ の左辺 $({\bf a}^\top{\bf b}){\bf b}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} ({\bf a}^\top{\bf b}){\bf b}&=& \begin{pmatrix} ({\bf a}^\top{\bf b})\cdot b_x\\ ({\bf a}^\top{\bf b})\cdot b_y\\ ({\bf a}^\top{\bf b})\cdot b_z\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} (a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z) b_x\\ (a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z) b_y\\ (a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z) b_z\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} b_x^2a_x+b_xb_ya_y+b_xb_za_z\\ b_xb_ya_x+b_y^2a_y+b_yb_za_z\\ b_xb_za_x+b_yb_za_y+b_z^2a_z\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{pmatrix}\tag{4} \end{eqnarray}$

以上より、式 $(3)$ が成り立つことが示せました。
[証明終わり]

外積を行列のベクトルの積にする公式

${\bf a},{\bf b}\in{\mathbb R}^3$ に関して以下が成り立つ。

$\begin{eqnarray}{\bf a}\times{\bf b} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\tag{5}\end{eqnarray}$

[証明]
式 $(5)$ の左辺 ${\bf a}\times{\bf b}$ を計算します。

$\begin{eqnarray} {\bf a}\times{\bf b}&=& \begin{pmatrix} a_yb_z-a_zb_y\\ a_zb_x-a_xb_z\\ a_xb_y-a_yb_x \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} 0\cdot b_x-a_zb_y+a_yb_z\\ a_zb_x +0\cdot b_y-a_xb_z\\ -a_yb_x+a_xb_y+0\cdot b_z \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\tag{6} \end{eqnarray}$

以上より、式 $(5)$ が成り立つことが示せました。
[証明終わり]

機械学習基礎理論独習

誤りがあればご指摘いただけると幸いです。数式が整うまで少し時間かかります。リンクフリーです。

CGでよく見かけるベクトルに関する公式の導出

はじめに

ベクトル3重積の公式

射影を行列とベクトルの積にする公式

外積を行列のベクトルの積にする公式