ベジェ曲線
はじめに 使用する変数などは、3次ベジェ曲線のG1接続 - 接続点に隣接する制御点の移動量を最小にする - 別々に最適化を使いまわします。 計算も似ているので計算過程を省略します。 要件 要件は「曲線 のG1連続維持しつつ、曲線 が の移動量を最小にするよ…
要件 2つのベジェ曲線 があり、曲線 の終点と曲線 の始点が等しいとします。 曲線 の制御点は とし、位置ベクトルは とし、 曲線 の制御点は とし、位置ベクトルは とします。曲線 の終点と曲線 の始点が等しいので、以下が成り立ちます。制御点間の長さ を…
はじめに 本記事は2次元の点列にフィットする3次ベジェ曲線を求める(以下、元記事)を元に書いています。 元記事に出てくる数は使いまわします。 要件 タイトルの「両端点と両端点の接ベクトルを固定した」とは「始点の位置ベクトル」と「終点の位置ベクトル…
はじめに 本記事は2次元の点列にフィットする3次ベジェ曲線を求める(以下、元記事)を元に書いています。 元記事に出てくる数は使いまわします。 要件 タイトルの「両端点と終点の接ベクトルを固定した」とは「始点の位置ベクトル」と「終点の位置ベクトル」…
はじめに 本記事は2次元の点列にフィットする3次ベジェ曲線を求める(以下、元記事)を元に書いています。 元記事に出てくる数は使いまわします。 x(t)の変形 元記事の式 より、3次ベジェ曲線の位置ベクトルの 成分は以下の式でした。始点 を通るので、以下の…
はじめに 本記事は2次元の点列にフィットする3次ベジェ曲線を求める(以下、元記事)を元に書いています。 元記事に出てくる数は使いまわします。 x(t)の変形 元記事の式 より、3次ベジェ曲線の位置ベクトルの 成分は以下の式でした。始点 を通るので、以下の…
はじめに Graphics Gems 1 にある AN ALGORITHM FOR AUTOMATICALLY FITTING DIGITIZED CURVES という アルゴリズムをC言語で書いた FitCurve.c とソースがあります。 それを2024年12月22日に JavaScript に移植したときのログのような記事です。 移植前を手…
やりたいこと 点列 が与えられたとき、それにフィットする3次ベジェ曲線を1つ見つけたいとします。 要は、3次ベジェ曲線の4つの制御点の位置ベクトル を求めればよいわけです。 問題を書き換えてみる 3次ベジェ曲線の位置ベクトルを とすると、 は以下のよう…
要件 制御点 からなる3次ベジェ曲線の名前を 、位置ベクトルを 、 制御点 からなる3次ベジェ曲線の名前を 、位置ベクトルを とします。 を更新し となるように曲線を接続することを考えます。 接続の種類 C0連続:位置ベクトルの0階微分連続 C1連続:位置ベク…
はじめに 左右の異なる幅を3次ベジェ曲線を定義できれば、面白いものが作れるんじゃないかと思ったので、考えてみました。 非常に単純なアルゴリズムです。 幅をどうやって定義するか 左の幅、右の幅とは3次ベジェ曲線の接線ベクトルの方法に対しての左右で…
3次エルミート曲線の定義 この曲線は、曲線の両端点における位置ベクトル と接線ベクトル から定義されます。この曲線は、Ferguson/Coons曲線と全く同じなので、ベジェ曲線への変換など詳細についてはこちらをご覧ください。
はじめに 本アルゴリズムは、何か文献を参考にしたものではないので、間違っている可能性があります。予めご了承ください。 要件 点列 にフィットする3次ベジェ曲線を見つけたいとします。 点列の数 は4以上であるとします。(後で2以上でも導出可能なアイデ…
はじめに 3次ベジェ曲線による円弧の近似はこちら(以下、参考サイトと記載)に必要な事項がすべてまとめられています。 なので、上記のサイトと内容が重複します。 3次ベジェ曲線の制御点を求める 3次ベジェ曲線で円弧を近似します。 円弧は単位円の部分集合…
Ferguson/Coons曲線の定義 この曲線は、曲線の両端点における位置ベクトルと接線ベクトルから定義されます。 は端点における位置ベクトル、 は端点における接線ベクトルです。 は3次の「Hermite(エルミート)補間関数」と呼ばれるもので次の形をしています。…
2次ベジェ曲線を3次ベジェ曲線に変換 2次ベジェ曲線より、3次ベジェ曲線の方が自由度が高いので、変換ができます。 3次ベジェ曲線の制御点を とすると、 2次ベジェ曲線の端点は3次ベジェ曲線の端点と一致するので、制御点は となります。3次ベジェ曲線上の点…
3次ベジェ曲線の定義 3次ベジェ曲線の式を載せておきます。 は制御点で、 はパラメータです。 3次ベジェ曲線の1階微分 パラメータ で微分します。式 の両辺に を掛けて、変形します。式 で、 とおきました。 式 は、制御点が の 次ベジェ曲線であることが分…
ベジェ曲線とは ベジェ曲線と言えば、普通「3次ベジェ曲線」を意味することが多いと思います。 「3次ベジェ曲線」は以下の図のように4つ制御点からなる曲線のことで、扱いやすいのが特徴です。 1次ベジェ曲線の定義 パラメータ は から を取るとします。まず…
