幅のある3次ベジェ曲線を定義してみる

はじめに

左右の異なる幅を3次ベジェ曲線を定義できれば、面白いものが作れるんじゃないかと思ったので、考えてみました。
非常に単純なアルゴリズムです。

幅をどうやって定義するか

左の幅、右の幅とは3次ベジェ曲線の接線ベクトルの方法に対しての左右です。
左と右を3次ベジェ曲線のパラメータを用いて定義します。
左の幅を ${\rm w}_l(t)$ 、右の幅を ${\rm w}_r(t)$ とします。

$\begin{eqnarray} &&{\rm w}_l(t)=a_lt^3+b_lt^2+c_lt+d_l\tag{1}\\ &&{\rm w}_r(t)=a_rt^3+b_rt^2+c_rt+d_r\tag{2} \end{eqnarray}$

単なる3次式です。
左右別々に求めていきます。

幅関数のパラメータの求め方

左右どちらでもよいので、どちらかの関数を ${\rm w}(t)$ とします。

$\begin{eqnarray} {\rm w}(t)=at^3+bt^2+ct+d\tag{3} \end{eqnarray}$

4点 $\{(t_0,w_0),(t_1,w_1),(t_2,w_2),(t_3,w_3)\}$ より、パラメータ $a,b,c,d$ を求めます。
3次ベジェ曲線の太さを決めるものなので、 $t_0=0,t_3=1$ とします。
すると以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} &&{\rm w}(0)=d=w_0\tag{4}\\ &&{\rm w}(t_1)=at_1^3+bt_1^2+ct_1+d=w_1\tag{5}\\ &&{\rm w}(t_2)=at_2^3+bt_2^2+ct_2+d=w_2\tag{6}\\ &&{\rm w}(1)=a+b+c+d=w_3\tag{7} \end{eqnarray}$

式 $(4)$ を式 $(5),(6),(7)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} &&\left\{ \begin{array}{l} at_1^3+bt_1^2+ct_1+w_0=w_1\\ at_2^3+bt_2^2+ct_2+w_0=w_2\\ a+b+c+w_0=w_3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow&&\begin{pmatrix} t_1^3 & t_1^2 & t_1\\ t_2^3 & t_2^2 & t_2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}w_1-w_0 \\ w_2-w_0 \\ w_3-w_0\end{pmatrix}\tag{8} \end{eqnarray}$

${\bf T}=\begin{pmatrix} t_1^3 & t_1^2 & t_1\\ t_2^3 & t_2^2 & t_2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ とおきます。
この $\bf T$ が正則であれば、 $a,b,c,d$ は求まるので、行列式を計算してみます。

$\begin{eqnarray} \det{\bf T}&=&t_1^3t_2^3+t_1^2t_2+t_1t_2^3-t_1t_2^3-t_1^2t_2^3-t_1^3t_2\\ &=&t_1t_2(t_1^2t_2+t_1+t_2^2-t_2-t_1t_2^2-t_1^2)\\ &=&t_1t_2(t_1-1)(t_2-1)(t_1-t_2)\tag{9} \end{eqnarray}$

おっと、びっくりするぐらい式がキレイになりました。
式 $(9)$ が $=0$ となるのは、 $t_1=0$ または $t_2=0$ または $t_1=1$ または $t_2=1$ または $t_1=t_2$ のときです。
$t_1,t_2$ が共に $0$ または $1$ のときは、 $t_0,t_3$ の2点からなる線分を求めればよいです。
$t_1,t_2$ のどちらかが $0$ または $1$ のときは、 $t_i\not=0,1$ と $t_0,t_3$ の3点からなる2次曲線を求めればよいです。
$t_1=t_2$ のときは $t_0,t_1, t_3$ の3点からなる2次曲線を求めればよいです。
では、3点の場合の2次曲線も求めておきましょう。

$\begin{eqnarray} {\rm w}(t)=at^2+bt+c\tag{10} \end{eqnarray}$

3点 $\{(t_0,w_0),(t_1,w_1),(t_2,w_2)\}$ より、パラメータ $a,b,c$ を求めます。
$t_0=0,t_1\in(0,1),t_2=1$ とします。
すると以下が成り立ちます。

$\begin{eqnarray} &&{\rm w}(0)=c=w_0\tag{11}\\ &&{\rm w}(t_1)=at_1^2+bt_1+c=w_1\tag{12}\\ &&{\rm w}(1)=a+b+c=w_2\tag{13} \end{eqnarray}$

式 $(11)$ を式 $(12),(13)$ に代入します。

$\begin{eqnarray} &&\left\{ \begin{array}{l} at_1^2+bt_1+ct_1+w_0=w_1\\ a+b+w_0=w_3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow&&\begin{pmatrix} t_1^2 & t_1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}w_1-w_0 \\ w_2-w_0\end{pmatrix}\tag{14}\\ \Rightarrow&& \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t_1^2 & t_1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}w_1-w_0 \\ w_2-w_0\end{pmatrix}\tag{15} \end{eqnarray}$

式 $(15)$ の $\begin{pmatrix}t_1^2 & t_1\\1 & 1\end{pmatrix}^{-1}$ は存在します。
なぜなら以下のように、いかなる時も行列式が $0$ にならないためです。

$\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix} t_1^2 & t_1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}=t_1^2-t_1< 0 \end{eqnarray}$

まとめ

4点 $\{(t_0=0,w_0),(t_1,w_1),(t_2,w_2),(t_3=1,w_3)\}$ からなる幅関数 ${\rm w}(t)$ は以下のようになります。
以下で使用する ${\rm Same}$ 関数は次の通りです。

$\begin{eqnarray} {\rm Same}(a, b)\left\{ \begin{array}{l} 1\ (a=b)\\ 0\ (a\not=b) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

また、 $w_i$ の更新ですが $t$ の値が等しいものの平均を取ります。

$\begin{eqnarray} &&w_i\leftarrow\frac{\sum_{j = 0}^3{\rm Same}(t_i, t_j)w_j}{\sum_{j = 0}^3{\rm Same}(t_i, t_j)}\tag{16}\\ \end{eqnarray}$

(1) $t_1,t_2$ が共に $0$ または $1$ のときは、
$w_0,w_3$ を更新し、2点 $\{(t_0,w_0),(t_3,w_3)\}$ から直線を求めそれを ${\rm w}(t)$ とします。

$\begin{eqnarray} {\rm w}(t)=(w_3-w_0)t+w_0\tag{17} \end{eqnarray}$

(2) $t_1,t_2$ のどちらか一方のみが $0$ または $1$ のときは、
$w_0,w_i,w_3$ を更新し、3点 $\{(t_0,w_0),(t_i,w_i),(t_3,w_3)\}$ から2次曲線を求めそれを ${\rm w}(t)$ とします。( $t_i\not=0,1$ )

$\begin{eqnarray} {\rm w}(t)=at^2+bt+c\tag{18} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t_i^2 & t_i\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}w_i-w_0 \\ w_3-w_0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} c=w_0 \end{eqnarray}$

(3) $t_1=t_2$ であり、 $t_1,t_2\not=0,1$ のときは、
$w_0,w_1,w_3$ を更新し、3点 $\{(t_0,w_0),(t_1,w_1),(t_3,w_3)\}$ から2次曲線を求めそれを ${\rm w}(t)$ とします。

$\begin{eqnarray} {\rm w}(t)=at^2+bt+c\tag{19} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t_1^2 & t_1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}w_1-w_0 \\ w_3-w_0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} c=w_0 \end{eqnarray}$

(3) $t_1\not=t_2$ であり、 $t_1,t_2\not=0,1$ のときは、
4点 $\{(t_0=0,w_0),(t_1,w_1),(t_2,w_2),(t_3=1,w_3)\}$ から3次曲線を求めそれを ${\rm w}(t)$ とします。

$\begin{eqnarray} {\rm w}(t)=at^3+bt^2+ct+d\tag{20} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a \\ b\\ c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t_1^3 & t_1^2 & t_1\\ t_2^3 & t_2^2 & t_2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}w_1-w_0 \\ w_2-w_0\\ w_3-w_0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} d=w_0 \end{eqnarray}$

結局、4点を通る3次関数の問題になりました。
大事なのは、その4点をどのように入力させるかですね、それにより使いやすさが決まると思います。

最後に

行列式の値が0に近くなると、計算が不安定なるので、例えばアプリケーションで $t_1,t_2\in[0.01,0.99]$ とするなど、工夫するのもありだと思います。
また、今回は検討していませんが、一般逆行列を求めればこんな場合分け不要になるかと思います。(本件に一般逆行列をを適用した場合の記事は別途書く予定)
${\rm w}(t)$ は幅を返す関数なので正の値を返す必要があります。本記事ではそれについて考慮していませんので、アプリに組み込む際、4点が決まったときに ${\rm w}(t)$ が0以下の値を取るときは警告でも出せば良いんじゃないでしょうか？

追記

中心となる曲線はCatmullスプラインで左右の幅は区分ごとに直線でよいと思う
(ex. 0-0.5: x=0.5t + 0.8, 0.5-0.8: x=-0.2t + 2.3, 0.8-1: 0.9)

機械学習基礎理論独習

誤りがあればご指摘いただけると幸いです。数式が整うまで少し時間かかります。リンクフリーです。

幅のある3次ベジェ曲線を定義してみる

はじめに

幅をどうやって定義するか

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最後に

追記