順序対 一般に、二つのもの から作られた対 なるものを、 と とから作られた順序対という。 二つの順序対 と とが等しいのは かつ がともに成立する場合に限るものと定める。 と が等しいことをと書く。また でないことをで表す。二つのもの から作られた集…

ド・モルガンの法則 差集合と和集合，共通節分について，次の関係がある．定理 3.1 ド・モルガンの法則 集合 について、次式が成り立つ。[証明] 補集合 数学のいろいろな分野では、一つの基礎になる集合を固定して、その集合の元についてのみ考察することが…

ベルンシュタインの定理とは ベルンシュタインの定理は集合の濃度に関する定理で、とても重要です。ベルンシュタインの定理 任意の集合 に対し、 から への単射と から への単射が存在するならば、 が成立する。 (ここでは は対等の記号を表す。)ベルンシュ…

定義 3.6 つの集合 が与えられ、 のどの要素に対しても、それぞれ の要素が一意的に(=ただ1つ)対応しているとき、この対応関係を から への写像という。集合 から集合 への写像を とするとき、 を の定義域、 を の終域という。また、各 に対応する の要素を…

定義 3.1 つの集合 に対して、次のように定める。ここで、 は、 の要素 の後に の要素 を並べて作った組である。 集合 を と の直背集合または単に直積という。直線集合 を と書く。 直積集合の要素 に対し、 をその第 座標、 をその第 座標という。定義 3.4…

定義 1.18 全体集合 が与えられたとする。このとき、任意の集合 に対して、差集合 を( における) の補集合とよび、で表す。本書では、最初の記号を採用する。任意の に対して、が成立する。命題 1.19 集合演算の基本性質2 任意の に対して、次が成り立つ。 …

定義 1.14 つの集合 に対して、次のように定める。集合 を と の和集合、 を と の共通部分という。註 1.15 定義より、次の が成立する。 命題 1.16 集合演算の基本性質1 (べき等法則) (交換法則) (結合法則) (結合法則) (分配法則) (分配法則)定義 の につ…

定義 1.7 つの集合 について、 の要素がすべて の要素であるとき、 は の部分集合であるといい、で表す。 であるとは、条件またはが満たされることです。註 1.9 集合 が集合 の部分集合でない、すなわち、 であるとは、条件が満たされることである。定義 1.1…

定義 1.1 集合とは「もの」の集まりのことである。ただし、本書で扱う集合は、明確な定義をもつ数学的な対象物の集まりである。たとえば、整数全体の集合や座標平面上の直線全体の集合などである。集合を構成する「もの」を、その集合の要素または元という。…