ド・モルガンの法則

差集合と和集合，共通節分について，次の関係がある．

定理 3.1 ド・モルガンの法則

集合 $X,A,B$ について、次式が成り立つ。

$\begin{eqnarray} &&(1)\qquad X-(A\cup B)=(X-A)\cap(X-B)\\ &&(2)\qquad X-(A\cap B)=(X-A)\cup(X-B) \end{eqnarray}$

[証明]
$\square$

補集合

数学のいろいろな分野では、一つの基礎になる集合を固定して、その集合の元についてのみ考察することが多い。
基礎になる集合を $X$ 、その部分集合を $A$ とするとき、差集合 $X-A$ を( $X$ に関する） $A$ の補集合といい、 $A^c$ で表す。
この記号を使えば、 $A,B$ を基礎になる集合 $X$ (この集合を普遍集合と呼ぶ）の部分集合とするとき、ド・モルガンの法則から

$\begin{eqnarray} (A\cup B)^c = A^c \cup B^c, \ (A\cap B)^c = A^c\cup B^c \end{eqnarray}$

の成り立つことがわかる。この2式を補集合に関するド・モルガンの法則という。