概要 完備距離空間の例、完備でない距離空間の例 完備距離空間の例 (1) 実数全体の集合 (定理1参照)(2) 次元ユークリッド空間 に対し、 ・ ・ ・ 上記のどの距離を採用しても、完備距離空間となる。 (※有限次元ノルム空間のノルムはすべて同値(後述))(3) 数…

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 - 点列の収束先は一意的 を距離空間とする。 を収束列とする。 このとき、 の収束先は "一意的" である。 証明 かつ として、 を示せばよい。 実際、三角不等式より、 よって、はさみうちの原理より、 ゆ…

概要 開球、有界な集合、有界な点列、部分列、収束列、コーシー列の定義 開球、有界な集合、有界な点列、部分列 ・ を距離空間とする。 (i) とする。 を " を中心とする半径 の開球" という。 (ii) に対し、 と となるとき、 " は有界" であるという。 (iii)…

概要 距離空間の例 距離空間の例 実数全体の集合 有理数全体の集合 ※ は完備性をもつが、 は完備性をもたない。(完備性については後述) 、 次元ユークリッド空間 ・ ・ ・ 数列空間 ※スクリプト書体のコマンド\mathscrが効かないので、l^pが正しく表示されな…

概要 このシリーズの目標、ユークリッド距離の定義、距離空間の定義 このシリーズの目標 ・ハーン・バナッハの定理 ・開写像定理 ・閉グラフ定理 ・一様有界性の定理 ユークリッド距離 上の 点 ・ ・ ・ (対称性) ・ (三角不等式) 上の距離 が満たす上記の性…

概要 完備距離空間の定義、定理1の証明 完備距離空間の定義 を距離空間とする。 任意のコーシー列 が収束列となるとき、 は完備距離空間という。 定理1 実数全体の集合 は距離 のもとで完備距離空間である。 証明 をコーシー列とする。 補題 より、 は有界列…