機械学習基礎理論独習

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関数解析①～距離空間の定義～

関数解析(数の落とし子)

概要

このシリーズの目標、ユークリッド距離の定義、距離空間の定義

このシリーズの目標

・ハーン・バナッハの定理
・開写像定理
・閉グラフ定理
・一様有界性の定理

ユークリッド距離

${\mathbb R}^2$ 上の $2$ 点 $x=(x_1,x_2),\ y=(y_1, y_2)$
$|x-y|:=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$

$x=(x_1,x_2),\ y=(y_1, y_2),\ z=(z_1,z_2)$
・ $|x-y|\geq 0$
・ $|x-y|=0\Leftrightarrow x=y$
・ $|x-y|=|y-x|$ (対称性)
・ $|x-z|=|x-y|+|y-z|$ (三角不等式)

${\mathbb R}^2$ 上の距離 $|x-y|$ が満たす上記の性質を一般の集合 $X$ に拡張したものが距離空間

距離空間の定義

集合 $X$ 上の $2$ 点 $x,y\in X$ に対し、 $0\leq d(x,y)\leq\infty$ が定まり、
$d$ が以下を満たすとき、 $X$ は距離 $d$ をもつ距離空間という。

・ $x,y,z\in X$
(i) $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
(ii) $d(x,y)=d(y,x)$ (対称性)
(iii) $d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)$ (三角不等式)

・ ${\mathbb R}^2$ 上の $d(x,y)=|x-y|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$ は距離空間の $1$ つである。

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