ルベーグ積分⑧～測度の制限～ - 機械学習基礎理論独習

概要

補題6の証明、補題7の証明

補題6

$\mu$ を $X$ 上の測度とする。
$B\subset X$ に対し、" $\mu$ の $B$ への制限 $\mu_B$ " を

$\begin{eqnarray} \mu_B(A):=\mu(B\cap A)\ \ \ \ (A\subset X) \end{eqnarray}$

とおく。このとき、 $\mu_B$ も $X$ 上の測度となる。

証明
$0\leq\mu_B(A)\leq+\infty$ は明らか。
(i) $\mu_B(\emptyset)=\mu(B\cap \emptyset)=\mu(\emptyset)=0$
(ii) $A\subset\displaystyle\bigcap_{j=1}^\infty A_j$ とすると、 $B\cap A\subset B\cap\displaystyle\bigcap_{j=1}^\infty A_j=\displaystyle\bigcap_{j=1}^\infty (B\cap A_j)$ となるから、

$\begin{eqnarray} \mu_B(A)&=&\mu(B\cap A)\\ &\leq&\mu\left(\bigcap_{j=1}^\infty (B\cap A_j)\right)\ \ \ \ (\therefore\muの単調性)\\ &\leq&\sum_{j=1}^\infty \mu(B\cap A_j)\ \ \ \ (\therefore\muの劣加法性)\\ &=&\sum_{j=1}^\infty\mu_B(A_j) \end{eqnarray}$

これは、 $\mu_B$ が劣加法性を満たすことを示している。□

補題7

$\mu$ を $X$ 上の測度、 $A\subset X$ は $\mu$ -可測とする。
このとき、任意の $B\subset X$ に対し、 $A$ は $\mu_B$ -可測でもある。

証明
任意の $E\subset X$ に対し、 $A$ は $\mu$ -可測だから

$\begin{eqnarray} \mu_B(E)&=&\mu(B\cap E)\\ &=&\mu\left((B\cap E)\cap A\right)+\mu\left((B\cap E)- A\right)\ \ \ \ (\therefore\muの可測性) \end{eqnarray}$

・ $(B\cap E)\cap A=B\cap(E\cap A)$
・ $(B\cap E)-A=B\cap(E-A)$ に注意して、

$\begin{eqnarray} \mu_B(E)&=&\mu\left(B\cap(E\cap A)\right)+\mu\left(B\cap(E - A)\right)\\ &=&\mu_B(E\cap A)+\mu_B(E-A) \end{eqnarray}$

となり、これは $A$ が $\mu_B$ -可測であることを示している。□