ルベーグ積分②～可測集合の定義～ - 機械学習基礎理論独習

概要

補題1の証明、可測集合の定義、補題2の証明

補題1

$\mu$ ： $X$ 上の測度とする。 $A\subset B(\subset X)$ ならば、 $\mu(A)\leq\mu(B)$ が成り立つ。

証明
$A:=B,A_2=A_3=A_4=\cdots=\varnothing$ とおく。

$\begin{eqnarray} \bigcup_{j=1}^\infty A_j&=&A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots\\ &=&B\cup \varnothing\cup\varnothing\cup\cdots=B\\ \end{eqnarray}$

$A\subset B=\displaystyle\bigcup_{j=1}^\infty A_j$ となっている。
$\mu$ の劣加法性より

$\begin{eqnarray} \mu(A)&\leq&\sum_{j=1}^\infty\mu(A_j)=\mu(A_1)+\mu(A_2)+\cdots\\ &=&\mu(B)+\underbrace{\mu(\varnothing)}_{=0}+\cdots=\mu(B) \end{eqnarray}$

$\therefore \mu(A)\leq \mu(B)$

可測集合の定義

$\mu$ を $X$ 上の測度とする。 $A\subset X$ が $\mu$ -可測(または可測) であるとは、
$\forall E\subset X$ に対し、 $\mu(E)=\mu(E\cap A)+\mu(E-A)$ が成り立つことである。
$(E-A=E\cap A^c であることを確認しておくこと)$

補題2

$A\subset X,\mu(E) < +\infty$ なる $\forall E\subset X$ に対し、
$\mu(E)\geq\mu(E\cap A)+\mu(E-A)$ が成り立つならば、 $A$ は可測である。

証明
$\mu(E)=+\infty$ のとき、 $\mu(E)=+\infty\geq\mu(E\cap A)+\mu(E-A)$ は明らか。
よって $\forall E\ \subset X$ に対し、 $\mu(E)\geq\mu(E\cap A)+\mu(E-A)$ は正しい。
ゆえに、 $\mu(E)\leq\mu(E\cap A)+\mu(E-A)$ を示せばよい。
$A_1:=E\cap A,A_2:=E-A,A_3=A_4=\cdots=\varnothing$ とおく。

$\begin{eqnarray} E&=&A_1\cup A_2\\ &=&A_1\cup A_2\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots\\ &=&A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\cup\cdots\\ &=&\bigcup_{j=1}^\infty A_j \end{eqnarray}$

となっている。
( $E=\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Rightarrow E\subset\bigcup_{j=1}^\infty A_j$ なので)

$\begin{eqnarray} \mu(E)&\underset{劣加法性}{\leq}&\sum_{j=1}^\infty\mu(A_j)\\ &=&\mu(A_1)+\mu(A_2)+\mu(A_3)+\cdots\\ &=&\mu(E\cap A)+\mu(E-A)+\mu(\varnothing)+\cdots\\ &=&\mu(E\cap A)+\mu(E-A) \end{eqnarray}$

$\therefore\mu(A)=\mu(E\cap A)+\mu(E-A)$