ルベーグ積分①～測度の定義～ - 機械学習基礎理論独習

概要

±∞を含む計算の約束、測度の定義、測度の例

±∞を含む計算の約束

$\begin{eqnarray} &&(+\infty)+a=a+(+\infty)=+\infty\ (-\infty < a \leq +\infty)\\ &&(-\infty)+a=a+(-\infty)=-\infty\ (-\infty\leq a < +\infty)\\ &&a\times(+\infty)=(+\infty)\times a= \left\{ \begin{array}{l} +\infty\ (0 < a \leq +\infty)\\ 0\ (a=0)\\ -\infty\ (-\infty \leq a < 0)\ \end{array} \right.\\ &&a\times(-\infty)=(-\infty)\times a= \left\{ \begin{array}{l} -\infty\ (0 < a \leq +\infty)\\ 0\ (a=0)\\ +\infty\ (-\infty \leq a < 0)\ \end{array} \right.\\ &&| +\infty | = | -\infty | =+\infty \end{eqnarray}$

$X:$ $\emptyset$ ではない集合
$f:X\rightarrow[-\infty,+\infty]$
つまり、 $x\in X\Rightarrow-\infty\leq f(x)\leq+\infty$

測度の定義

$A\subset X$ に対し、 $0\leq\mu(A)\leq+\infty$ が以下を満たすとき
(i) $\mu(\varnothing)=0$
(ii) (劣加法性) $A\subset\displaystyle\bigcup_{j=1}^\infty A_j\Rightarrow\mu(A)\leq\displaystyle\sum_{j=1}^\infty \mu(A_j)$
$\mu$ は $X$ 上の測度という。