はじめに 鏡映変換を2回行うことで回転変換は実現できるという記事で2つの鏡映変換から回転を生み出したわけですが、 この逆はできるんかとちょっと気になったので考えてみました。 (本記事は参考リンクの続編的な記事です。) 導出(※一意には定まらないこと…

剛体変換行列とは 剛体変換行列 は、回転行列 と平行移動ベクトル を使って、以下のように表せます。 剛体変換行列の積が剛体変換行列であることの確認 もう1つ剛体変換行列を用意します。 剛体変換行列 は、回転行列 と平行移動ベクトル を使って表されると…

はじめに 「任意軸回りの回転が回転行列である」ことと「回転行列の積は回転行列である」こと、この2つのことを当たり前のように使っていたけど、 確認してなかったなとおもったので計算することで確認しました。 回転行列の必要十分条件 参考文献によると、…

オイラーの定理とは オイラーの定理ってたくさんあるんですが、今回のオイラー定理は回転に関するものです。オイラーの定理 3次元空間の任意の回転 はある回転軸 の周りのある回転角 の回転である。回転行列を何回も掛けた回転行列でも任意軸回りの回転で表…

ScLerpとは 英語で「Screw Linear Interpolation」です。 日本語に無理やり訳すと「ねじ線形補間」とか「らせん線形補間」とかになるんですかね。 本記事では、そのまま ScLerp を書くことにします。 ねじパラメータを二重四元数に変換 本記事は、剛体変換を…

はじめに こちらの記事で「2次元の剛体変換を任意点回りの回転に変換」ができたので、 3次元でもできるかやってみました。 結論できません。できるとしたら、かなり限定的な条件を満たすときです。 まあ、でもせっかく計算したので、そのログとして本記事を…

はじめに 剛体変換って、「任意点回りの回転に変換できるんじゃないか」と思って、 まずは、2次元で計算してみるかって記事です。 2次元の剛体変換を任意点周りの回転に変換 剛体変換行列を とします。回転行列を 、平行移動行列を とします。任意点周りの行…

はじめに CGを勉強していると、よく見かける公式があります。 そういや、導出してなかったなって思ったので、導出することにしました。 どれも地道に計算するだけです。それもまた一興。 ベクトル3重積の公式 ベクトル3重積の公式 に関して以下が成り立つ。[…

はじめに 「ねじパラメータ」とは、英語で「Screw Parameter」のことです。この訳が一般的かは知りません。 英語のまま使うのが嫌だったので、無理やり日本語にしています。 直線をプリュッカー座標で表す 直線は方向ベクトル と直線上の点の位置ベクトル で…

単位四元数を回転軸と回転角に変換する 導出に関しては簡単なので、説明はせずに該当するglMatrix.jsのメソッドを貼り付けておきます。 /** * Gets the rotation axis and angle for a given * quaternion. If a quaternion is created with * setAxisAngle,…

回転行列の補間とは 回転行列 を回転行列 までパラメータ を使って補間することとします。 線形補間は意味ないことが分かるかと思います。 四元数の球面線形補間 に対する四元数を とします。 この時、補間に対応する変換を示す四元数を とします。 は のな…

四元数で示してみる 位置ベクトルを 、平面の単位法線ベクトルを 、2回の鏡映変換後の位置ベクトル は四元数を使って、で表せます。 この の右辺が回転を表すことを示します。この2つの平面のなす角を します。また、 とすると、 は以下のように書けます。よ…

鏡映変換とは 鏡映変換とは平面で折り返すことです。 位置ベクトルを 、平面の単位法線ベクトルを とすると、鏡映変換後の位置ベクトル はとなります。 鏡映変換を行列で表す 鏡映変換は行列で表すこともできます。 より、鏡映変換 は、以下のように表せます…

剛体変換を表す行列 剛体変換を表す行列 は以下のようになっています。 とします。 の行列から、回転変換と平行移動変換を抽出するのですが、そのためには回転が先か平行移動が先か指定する必要があります。 どちらを指定しても回転変換は同じですが、平行移…

はじめに 単位二重四元数が表す剛体変換を行列に変換することを考えます。 剛体変換には、「回転後、平行移動」と「平行移動後、回転」の2通りがありました。 それぞれで2通りの方法で行列に変換し、それが一致することを示そうと思います。なので、4通りの…