「任意軸回りの回転が回転行列である」ことと「回転行列の積は回転行列である」ことの確認

はじめに

「任意軸回りの回転が回転行列である」ことと「回転行列の積は回転行列である」こと、この2つのことを当たり前のように使っていたけど、
確認してなかったなとおもったので計算することで確認しました。

回転行列の必要十分条件

参考文献によると、回転行列の必要十分条件は、以下のようです。

回転行列であるための必要十分条件

行列 ${\bf R}\in{\mathbb R}^{3\times 3}$ が回転行列であるための必要準条件は、以下のようになる。

$\begin{eqnarray} {\bf R}^\top{\bf R}={\bf I},\ \ \ |{\bf R}|=1\tag{1} \end{eqnarray}$

任意軸回りの回転が回転行列であるかの確認

先に、任意軸回りの回転が回転行列であるかの確認をします。
回転軸を表す単位ベクトルを ${\bf a}\in{\mathbb R}^{3\times 3}$ とし、回転角を $\theta\in{\mathbb R}$ とすると、回転行列 ${\bf M}_{\bf a}(\theta)$ は以下のようになります。

$\begin{eqnarray} {\bf M}_{\bf a}(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta+a_x^2(1-\cos\theta) & a_xa_y(1-\cos\theta)-a_z\sin\theta & a_xa_z(1-\cos\theta)+a_y\sin\theta\\ a_xa_y(1-\cos\theta)+a_z\sin\theta & \cos\theta+a_y^2(1-\cos\theta) & a_ya_z(1-\cos\theta)-a_x\sin\theta\\ a_xa_z(1-\cos\theta)-a_y\sin\theta & a_ya_z(1-\cos\theta)+a_x\sin\theta & \cos\theta+a_z^2(1-\cos\theta) \end{pmatrix}\tag{2} \end{eqnarray}$

${\bf M}_{\bf a}(\theta)$ が式 $(1)$ を満たすことを確認すればよいことになります。

手計算ではなくSymPyを使って計算しました。

from sympy import *
init_printing()
var('theta,a_x,a_y,a_z')
c = cos(theta)
s = sin(theta)
M = Matrix([
    [c + a_x ** 2 * (1 - c), a_x * a_y *(1 - c) - a_z * s, a_x * a_z * (1 - c) + a_y * s ],
    [a_x * a_y *(1 - c) + a_z * s, c + a_y ** 2 * (1 - c), a_y * a_z * (1 - c) - a_x * s ],
    [a_x * a_z * (1 - c) - a_y * s, a_y * a_z * (1 - c) + a_x * s, c + a_z ** 2 * (1 - c) ],
])
display(M)
Mdet = my_simplify(M.det())
display(Mdet)
MMT = my_simplify(M.transpose() * M)
display(MMT)

def my_simplify(m):
    subs = [
        (a_x ** 2 + a_y ** 2 + a_z ** 2, 1),
        (a_x ** 2, 1 - (a_y ** 2 + a_z ** 2)),
        (a_y ** 2, 1 - (a_z ** 2 + a_x ** 2)),
        (a_z ** 2, 1 - (a_x ** 2 + a_y ** 2)),
        (cos(theta) ** 2 + sin(theta) ** 2, 1),
    ]
    m = expand(m)
    m = m.subs(subs)
    m = simplify(m)
    m = m.subs(subs)
    m = expand(m)
    return m

プログラムの実行結果

以上より、 ${\bf M}_{\bf a}(\theta)$ が式 $(1)$ を満たすので、任意軸回りの回転が回転行列であることがわかりました。

回転行列の積は回転行列なのか確認

さて、本丸の回転行列同士の積が回転かどうかの確認です。
もう1つ回転行列を用意します。
回転軸を表す単位ベクトルを ${\bf b}\in{\mathbb R}^{3\times 3}$ とし、回転角を $\phi\in{\mathbb R}$ とすると、回転行列 ${\bf N}_{\bf b}(\phi)$ とします。
このとき、上記の議論より、 ${\bf N}_{\bf b}(\phi)$ も式 $(1)$ を満たします。
見やすくするため、 ${\bf M}={\bf M}_{\bf a}(\theta),{\bf N}={\bf N}_{\bf b}(\phi)$ とおきます。