はじめに 「WebGL/OpenGLは列優先だから」という説明を見受けますがそれはいったい何なんだってことを説明します。 ちなみに「列優先だから」というだけでは何もわかりません。 行列のメモリレイアウト 行列として4x4を考えます。 そうすると、スカラーが4x4…

はじめに WebGLで使われる最もよく使われるであろうライブラリglMatrixについて解説します。 対象のバージョンは3.4.0です。 引数を省略して、メソッドを使うことは無いようです。その方が使いやすいですね。 私が良く使うものだけを紹介します。 ベクトルは…

3次エルミート曲線の定義 この曲線は、曲線の両端点における位置ベクトル と接線ベクトル から定義されます。この曲線は、Ferguson/Coons曲線と全く同じなので、ベジェ曲線への変換など詳細についてはこちらをご覧ください。

はじめに 本アルゴリズムは、何か文献を参考にしたものではないので、間違っている可能性があります。予めご了承ください。 要件 点列 にフィットする3次ベジェ曲線を見つけたいとします。 点列の数 は4以上であるとします。(後で2以上でも導出可能なアイデ…

2次ベジェ曲線の制御点を求める 2次ベジェ曲線で円弧を近似します。 円弧は単位円の部分集合とし、円弧の角度を とします。 両端点 は円弧と一致するものとします。 両端点の接線ベクトルは円弧の接線ベクトルと方向が同じものであるとします。 が の接線ベ…

はじめに 3次ベジェ曲線による円弧の近似はこちら(以下、参考サイトと記載)に必要な事項がすべてまとめられています。 なので、上記のサイトと内容が重複します。 3次ベジェ曲線の制御点を求める 3次ベジェ曲線で円弧を近似します。 円弧は単位円の部分集合…

Ferguson/Coons曲線の定義 この曲線は、曲線の両端点における位置ベクトルと接線ベクトルから定義されます。 は端点における位置ベクトル、 は端点における接線ベクトルです。 は3次の「Hermite(エルミート)補間関数」と呼ばれるもので次の形をしています。…

2次ベジェ曲線を3次ベジェ曲線に変換 2次ベジェ曲線より、3次ベジェ曲線の方が自由度が高いので、変換ができます。 3次ベジェ曲線の制御点を とすると、 2次ベジェ曲線の端点は3次ベジェ曲線の端点と一致するので、制御点は となります。3次ベジェ曲線上の点…

3次ベジェ曲線の定義 3次ベジェ曲線の式を載せておきます。 は制御点で、 はパラメータです。 3次ベジェ曲線の1階微分 パラメータ で微分します。式 の両辺に を掛けて、変形します。式 で、 とおきました。 式 は、制御点が の 次ベジェ曲線であることが分…

ベジェ曲線とは ベジェ曲線と言えば、普通「3次ベジェ曲線」を意味することが多いと思います。 「3次ベジェ曲線」は以下の図のように4つ制御点からなる曲線のことで、扱いやすいのが特徴です。 1次ベジェ曲線の定義 パラメータ は から を取るとします。まず…

はじめに 今C#でプログラムを書いているんですが、JavaScriptに慣れているので、ちょっとしたことでググってしまいます。 そのググる回数を減らすべく、JSの配列のメソッドを中心にC#のListに書き換えていこうと思います。 ちなみに同じ動きをするプログラム…

はじめに waveファイルの仕様についてはググってください。 非常にわかりやすいフォーマットになっているので、すぐ理解できると思います。 本記事ではwaveファイルを読み込んで各値を取得するプログラムを示します。 プロジェクト プロジェクトはC#のフォー…

概要 C#で作成したbitmapから動画を作成します。 簡単なので、ソースのみです。 プログラム using OpenCvSharp; using OpenCvSharp.Extensions; namespace SampleFormOpenCvSharp { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeCompone…

はじめに pdfファイルなどをPCやタブレットで見るのではなく、製本したくなることありませんか？ 私は何回かありまして、3つの方法を紹介します。 自前で製本 例：とじ太くん メリット：製本機さえあれば、一番お金がかからない。(製本機と製本カバー揃えて…

概要 補題4の証明 補題4 がともに可測 はともに可測。 証明 まず、 が可測を示す。 はともに可測だから、 に対し、ここで、 ・ ・ に注意。 より、 よって、 よりよって、補題2より、 は可測。 次に、 の可測性を示す。 を可測とすると、補題3(iii)より、 は…

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 を位相空間、 とする。 (i) (ii) 証明 (i) とおく。 とすると、 で、. ゆえに . よって、 は英語で That is (すなわち)の意。 と書く場合もある。(ii) (i) より、 ( (i)で の代わりに を代入すると導ける)…

概要 補題3の証明、補題4の証明 補題3 (ディリクレ関数) をとおくと、 は 上でリーマン積分不可能である。証明 を の任意の分割：とする。 このとき、となるから、常に よって、 は 上でリーマン積分不可能である。 補題4 は連続関数とすると、 は 上でリー…

概要 関数の連続性、関数の一様連続性 関数の連続性 ・ とする。 が 上の連続関数であるとは、 つまり、 ならば ( は によって決まるので、) 関数の一様連続性 が 上で一様連続であるとは、次を満たすときをいう。 ならば ( は によってのみ決まるので、)注…

概要 集合の上限、集合の下限、ワイエルシュトラスの定理 集合の上限 ・ は上に有界とする。 このとき、 であるとは、以下の(i)、(ii)が成り立つときにいう。 (i) に対し、 (ii) (つまり、 は の上界の つではあるが、 は の上界ではない。)例 ・ に対し、( …

概要 集合の有界性、集合の最大元・最小元 集合の有界性 とする。 (i) が "上に有界" とは、 となること。(ii) が "下に有界" とは、 となること。(iii) が上にも下にも有界のとき、単に "有界" という。 例 ・ は有界。 ・ は上に有界だが、下に非有界。 ・…

概要 補題15の証明、補題16の証明 補題15 を集合、 とする。 このとき、 が存在するための必要十分条件は、 が全単射であることである。 証明 (必要性) が存在するとする。 このとき、逆写像の定理よりが成り立つ。( ともに恒等写像だから当然、全単射。) こ…

概要 内点集合、内点の定義、距離空間との比較、定理2の証明 内点集合、内点の定義 ・ を位相空間、 に対し、 、 とおき、 を の "内点集合" という。 の定義より、 に注意する。 また、 のとき、 を の "内点" という。 距離空間との比較 距離空間 (距離を…

概要 位相、位相空間、開集合、閉集合の定義、定理1の証明 位相、位相空間、開集合、閉集合の定義 ・ を集合、 に対し、次の (i)-(iii) が成り立つとき、 は の "位相" であるという。 (i) (ii) に対し、 ならば . (iii) 集合 で添え字づけられた の部分集合…

概要 完備距離空間の例、完備でない距離空間の例 完備距離空間の例 (1) 実数全体の集合 (定理1参照)(2) 次元ユークリッド空間 に対し、 ・ ・ ・ 上記のどの距離を採用しても、完備距離空間となる。 (※有限次元ノルム空間のノルムはすべて同値(後述))(3) 数…

概要 補題3の証明 補題3 は 上の測度 (i) と は可測 (ii) (零集合) は可測 (iii) が可測 も可測証明 (i) とする。 よって、 は可測。 次に、 よって、 は可測。 (ii) とする。 よって、補題2より は可測。 (iii) は可測とする。このとき、 が可測であるから…

概要 σ加法族の定義、定理5の証明 σ加法族の定義 ・集合族 が -加法族(または可算加法族)であるとは、 が次の(i),(ii),(iii)を満たすときにいう。 (i) ならば (ii) ならば 注意 以下のように共通部分についても閉じていることが示せる。 定理5 を 上の測度と…

概要 定理4の証明 定理4 を可測集合列とすると、 はともに可測である。証明 が可測集合であることを示せば十分。 実際、これが正しいとすると、 が可測集合列 が可測集合列 が可測集合 が可測集合 よって、以下、 が可測集合であることを示す。 とする。この…

概要 補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明 補題1 - 点列の収束先は一意的 を距離空間とする。 を収束列とする。 このとき、 の収束先は "一意的" である。 証明 かつ として、 を示せばよい。 実際、三角不等式より、 よって、はさみうちの原理より、 ゆ…

概要 開球、有界な集合、有界な点列、部分列、収束列、コーシー列の定義 開球、有界な集合、有界な点列、部分列 ・ を距離空間とする。 (i) とする。 を " を中心とする半径 の開球" という。 (ii) に対し、 と となるとき、 " は有界" であるという。 (iii)…

概要 距離空間の例 距離空間の例 実数全体の集合 有理数全体の集合 ※ は完備性をもつが、 は完備性をもたない。(完備性については後述) 、 次元ユークリッド空間 ・ ・ ・ 数列空間 ※スクリプト書体のコマンド\mathscrが効かないので、l^pが正しく表示されな…