ルベーグ積分⑨～可測集合列の和集合の可測性～

概要

定理4の証明

定理4

$\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty$ を可測集合列とすると、 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n,\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ はともに可測である。

証明
$\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ が可測集合であることを示せば十分。
実際、これが正しいとすると、
$\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty$ が可測集合列 $\Rightarrow \big\{{A_n}^c\big\}_{n=1}^\infty$ が可測集合列
$\Rightarrow \displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty {A_n}^c$ が可測集合 $\Rightarrow \big(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty {A_n}^c\big)^c=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ が可測集合
よって、以下、 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ が可測集合であることを示す。
$E\subset X,\mu(E) < \infty$ とする。このとき、 $\mu_E$ に対し、定理 $2$ を用いて、

$\begin{eqnarray} \mu\left(E\cup\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\right)+\mu\Big(\underbrace{E-\bigcup_{n=1}^\infty A_n}_{=E\cap\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c}\Big)&=&\mu_E\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)+\mu_E\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c\right)\\ &\underset{定理2}{=}&\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_E\underset{単調増加}{\left(\bigcup_{j=1}^n A_j\right)}+\underbrace{\mu_E\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c\right)}_{=:B}\\ \end{eqnarray}$

更に、 $\mu_E(A_1^c)=\mu(E\cap {A_1}^c)\leq\mu(E) < \infty$ .
つまり、 $\mu_E(A_1^c) < \infty$ . (定理3を使うためにこれを示した)

$\begin{eqnarray} B:&=&\mu_E\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c\right)\\ &\underset{ド・モルガン}{=}&\mu_E\left(\bigcap_{n=1}^\infty {A_n}^c\right)\\ &\underset{定理3}{=}&\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_E\left(\bigcap_{n=1}^\infty {A_n}^c\right)\\ &\underset{ド・モルガン}{=}&\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_E\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c\right)\\ \end{eqnarray}$

以上より、

$\begin{eqnarray} \mu\left(E\cup\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\right)+\mu\left(E-\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_E\left(\bigcup_{j=1}^n A_j\right)+\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_E\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c\right)\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\mu_E\left(\underline{\bigcup_{j=1}^n A_j}\right)+\mu_E\left(\underline{\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c}\right)\right)\ \ \ \ (\because \lim の線形性)\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_E\left(\left(\bigcup_{j=1}^n A_j\right)\cup\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c\right)\ \ \ \ (\because上式の下線部が可測で互いに素)\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_E(X)\underset{\mu_E の定義}{=}\mu(E\cap X)=\mu(E) \end{eqnarray}$

よって、 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ は可測である。□

機械学習基礎理論独習

誤りがあればご指摘いただけると幸いです。数式が整うまで少し時間かかります。リンクフリーです。

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