概要 補題4の証明 補題4 がともに可測 はともに可測。 証明 まず、 が可測を示す。 はともに可測だから、 に対し、ここで、 ・ ・ に注意。 より、 よって、 よりよって、補題2より、 は可測。 次に、 の可測性を示す。 を可測とすると、補題3(iii)より、 は…

概要 補題3の証明 補題3 は 上の測度 (i) と は可測 (ii) (零集合) は可測 (iii) が可測 も可測証明 (i) とする。 よって、 は可測。 次に、 よって、 は可測。 (ii) とする。 よって、補題2より は可測。 (iii) は可測とする。このとき、 が可測であるから…

概要 σ加法族の定義、定理5の証明 σ加法族の定義 ・集合族 が -加法族(または可算加法族)であるとは、 が次の(i),(ii),(iii)を満たすときにいう。 (i) ならば (ii) ならば 注意 以下のように共通部分についても閉じていることが示せる。 定理5 を 上の測度と…

概要 定理4の証明 定理4 を可測集合列とすると、 はともに可測である。証明 が可測集合であることを示せば十分。 実際、これが正しいとすると、 が可測集合列 が可測集合列 が可測集合 が可測集合 よって、以下、 が可測集合であることを示す。 とする。この…

概要 補題6の証明、補題7の証明 補題6 を 上の測度とする。 に対し、" の への制限 " をとおく。このとき、 も 上の測度となる。証明 は明らか。 (i) (ii) とすると、 となるから、これは、 が劣加法性を満たすことを示している。□ 補題7 を 上の測度、 は -…

概要 補題1の証明、可測集合の定義、補題2の証明 補題1 ： 上の測度とする。 ならば、 が成り立つ。 証明 とおく。 となっている。 の劣加法性より 可測集合の定義 を 上の測度とする。 が -可測(または可測) であるとは、 に対し、 が成り立つことである。 …

概要 ±∞を含む計算の約束、測度の定義、測度の例 ±∞を含む計算の約束 ではない集合 つまり、 測度の定義 に対し、 が以下を満たすとき (i) (ii) (劣加法性) は 上の測度という。 例1(ディラック測度) 例2(計数測度) を の要素の個数

概要 定理3の証明 定理3 可測集合列 は単調減少とし、 とする。 このとき、 が成り立つ。 証明 まず、 は単調減少だから に対し、 は下に有界な単調減少数列 が存在。 と は互いに素な可測集合 ここで、 だから、 より かつ よって、 より(移項ができて) さ…