ルベーグ積分④～可測集合の性質～

概要

補題4の証明

補題4

$A,B\subset X$ がともに可測 $\Rightarrow$ $A\cup B,A\cap B$ はともに可測。
証明
まず、 $A\cup B$ が可測を示す。
$A,B$ はともに可測だから、 $\forall E\subset X$ に対し、

$\begin{eqnarray} \mu(E)&=&\mu(E\cap A)+\mu(E-A)\ \ \ \ (\because Aが可測)\\ &=&\mu(E\cap A)+\mu\left((E-A)\cap B\right)+\mu\left((E-A)-B\right)\ \ \ \ (\because B が可測)\tag{1} \end{eqnarray}$

ここで、
・ $(E-A)-B=E-(A\cup B)\cdots(2)$
・ $E\cap(A\cup B)\subset(E\cap A)\cup\left((E-A)\cap B\right)\cdots(3)$
に注意。 $(3)$ より、 $\mu\left(E\cap(A\cup B) \right) \leq\mu(E\cap A)+\mu\left((E-A)\cap B\right)\cdots(4)$
よって、 $(1),(4)$ より

$\begin{eqnarray} \mu(E)&\geq&\mu\left(E\cap(A\cup B)\right)+\mu\left((E-A)-B\right)\\ &=&\mu\left(E\cap(A\cup B)\right)+\mu\left(E-(A\cup B)\right) \end{eqnarray}$

よって、補題2より、 $A\cup B$ は可測。
次に、 $A\cap B$ の可測性を示す。
$A,B$ を可測とすると、補題3(iii)より、 $A^c,B^c$ はともに可測。
よって、上述の議論より、 $A^c\cup B^c$ は可測。
ド・モルガンの法則と、補題3(iii)より $A\cap B=\left(A^c\cup B^c\right)^c$ は可測。□

機械学習基礎理論独習

誤りがあればご指摘いただけると幸いです。数式が整うまで少し時間かかります。リンクフリーです。

概要

補題4

補題4の系

(2) の証明

(3) の証明

補題4の