位相空間③～位相空間における内点集合の諸性質～

概要

補題1の証明、補題2の証明、補題3の証明

補題1

$(X,\mathscr{O})$ を位相空間、 $A\subset X$ とする。
(i) $I(A)\subset A.$
(ii) $I(I(A))=I(A).$
証明
(i) $\Lambda:=\{O\subset A\ | \ O\in\mathscr{O}\}$ とおく。
$x\in I(A):=\displaystyle\bigcup_{O\in\Lambda}O$ とすると、 $\exists O_*\in\Lambda\ s.t.\ x\in O_*,$
$i.e.,\ x\in O_*\subset A$ で、 $O_*\in\mathscr{O}$ . ゆえに $x\in A$ . よって、 $I(A)\subset A.$
$i.e.,$ は英語で That is (すなわち)の意。 $i.e.$ と書く場合もある。

(ii) (i) より、 $I(I(A))\subset I(A).$ ( (i)で $A$ の代わりに $I(A)$ を代入すると導ける)
一方、 $I(A)\in\mathscr{O}$ で $I(A)\subset I(A)$ だから、 $I(A)\subset I(I(A)).$
$I(A)$ は単に $I(A)$ の部分集合(開集合)であり、 $I(I(A))$ は $I(A)$ に含まれる開集合の全ての和集合、すなわち $I(A)$ に含まれる最大の開集合だから、 $I(A)\subset I(I(A)).$
もう少し噛み砕いて説明すると、 $I(A)\subset I(A),\ I(I(A))\subset I(A)$ で $I(A),I(I(A))$ ともに $I(A)$ の部分集合で開集合なんだけど、
”内点集合”の定義より、 $I(I(A))$ は $I(A)$ に含まれる最大の開集合だから、 $I(A)\subset I(I(A)).$
以上より、 $I(I(A))=I(A).$

補題2

$(X,\mathscr{O})$ を位相空間、 $A\subset X$ とする。
このとき、 $A\in\mathscr{O}\Leftrightarrow I(A)=A.$
証明
( $A\in\mathscr{O}\Rightarrow I(A)=A$ を示す)
$A\in\mathscr{O}$ とすると、 $A\in\mathscr{O}$ かつ $A\subset A$ だから $A\subset I(A).$ (←補題1(ii) と同じ理由)
一方、補題1(i) より、 $I(A)\subset A.$ よって、 $I(A)=A.$
( $A\in\mathscr{O}\Leftarrow I(A)=A$ を示す)
$I(A)=A$ とすると、 $I(A)\in\mathscr{O}$ だから、 $A\in\mathscr{O}.$
$I(A)\in\mathscr{O}$ がいえるのは、 $I(A)$ (内点集合)の定義による。

補題3

(i) $(X,\mathscr{O})$ を位相空間、 $A_1,A_2\subset X$ とする。このとき $I(A_1)\cap I(A_2)=I(A_1\cap A_2).$
(ii) $(X,\mathscr{O})$ を位相空間、 $A_1,A_2\subset X$ とする。このとき $I(A_1)\cup I(A_2)\subset I(A_1\cap A_2).$
(iii) $\exists$ 位相空間 $(X,\mathscr{O}),\ \exists A_1,A_2\subset X\ s.t.\ I(A_1)\cup I(A_2)\not\supset I(A_1\cup A_2).$
証明
(i) ( $I(A_1)\cap I(A_2)\supset I(A_1\cap A_2)$ を示す)
補題1(i) より、 $I(A_1\cap A_2)\subset A_1\cap A_2\subset A_1$ で、 $I(A_1\cap A_2)\in\mathscr{O}$ だから $I(A_1\cap A_2)\subset I(A_1).$
$I(A_1\cap A_2)$ は開集合であり $A_1$ の部分集合の1つであって、 $I(A_1)$ は $A_1$ に含まれる最大の開集合だから。
同様にして、 $I(A_1\cap A_2)\subset I(A_2).$
よって、 $I(A_1\cap A_2)\subset I(A_1)\cap I(A_2).$
( $I(A_1)\cap I(A_2)\subset I(A_1\cap A_2)$ を示す)
補題1(i) より、 $I(A_1)\cap I(A_2)\subset \underline{I(A_1)\subset A_1}$ かつ $I(A_1)\cap I(A_2)\subset \underline{I(A_2)\subset A_2}$ だから、(←下線部が補題1(i))
$I(A_1)\cap I(A_2)\subset A_1\cap A_2.$
また、 $I(A_1),I(A_2)\in\mathscr{O}$ だから $I(A_1)\cap I(A_2)\in\mathscr{O}.$
よって、 $I(A_1)\cap I(A_2)\subset I(A_1\cap A_2).$ (←補題1(ii) と同じ理由)
以上より、 $I(A_1)\cap I(A_2)=I(A_1\cap A_2).$ □

(ii) 補題1(i) より、 $I(A_1)\subset A_1 \subset A_1\cup A_2$ で、 $I(A_1)\in\mathscr{O}$ だから、 $I(A_1)\subset I(A_1\cup A_2).$ (←補題1(ii) と同じ理由)
同様に、 $I(A_2)\subset I(A_1\cup A_2).$
よって、 $I(A_1)\cup I(A_2)\subset I(A_1\cap A_2).$ □

(iii) $X=\mathbb{R},d_1(s,t)=|s-t|\ (s,t\in\mathbb{R})$ とおくと、 $(\mathbb{R},d_1)$ は距離空間である。
よって、 $\mathscr{O}_1:=\{O\subset\mathbb{R}\ |\ Oは(\mathbb{R},d_1)の開集合\}$ とおくと、 $(\mathbb{R},\mathscr{O})$ は位相空間である。
今、 $A\subset\mathbb{R}$ に対し、 $(\mathbb{R},d_1)$ における $A$ の内点集合を $I_{d_1}(A)$ 、 $(\mathbb{R},\mathscr{O})$ における $A$ の内点集合を $I_{\mathscr{O}_1}(A)$ とおく。
このとき、 $A_1:=(-\infty,0],A_2:=[0,\infty)$ とおくと、
定理2より、
$I_{\mathscr{O}_1}(A_1\cup A_2)=I_{d_1}(A_1\cup A_2)=I_{d_1}(\mathbb{R})=\mathbb{R}.$
$I_{\mathscr{O}_1}(A_1)\cup I_{\mathscr{O}_1}(A_2)=I_{d_1}(A_1)\cup I_{d_1}(A_2)=(-\infty,0]\cup(0,\infty)=\mathbb{R}\backslash\{0\}.$
となるから、 $I(A_1)\cup I(A_2)\not\supset I(A_1\cup A_2).$ が分かる。□