リーマン積分⑩～有界閉区間上の連続関数のリーマン可積分性～

概要

補題3の証明、補題4の証明

補題3 (ディリクレ関数)

$f:[0,1]\rightarrow{\mathbb R}$ を

$\begin{eqnarray} f(x):= \left\{ \begin{array}{l} 1\ (x\in{\mathbb Q})\\ 0\ (x\in{\mathbb R}\backslash{\mathbb Q}) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

とおくと、 $f$ は $[0,1]$ 上でリーマン積分不可能である。

証明
$P$ を $[a,b]$ の任意の分割：

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{N-1} < x_N=b\\ I_j=[x_{j-1},x_j],\ | I_j | = x_j-x_{j-1} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

とする。
このとき、

$\begin{eqnarray} {\mathcal U}(P,f)&=&\sum_{j=1}^N\big(\overbrace{\sup_{I_j}f}^{=1}\big) | I_j |\\ &=&\sum_{j=1}^N | I_j | = b-a\\ \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} {\mathcal L}(P,f)&=&\sum_{j=1}^N\big(\overbrace{\inf_{I_j}f}^{=0}\big) | I_j | = 0\\ \end{eqnarray}$

となるから、常に ${\mathcal U}(P,f)-{\mathcal L}(P,f)=b-a>0$
よって、 $f$ は $[a,b]$ 上でリーマン積分不可能である。

補題4

$f:[a,b]\rightarrow{\mathbb R}$ は連続関数とすると、 $f$ は $[a,b]$ 上でリーマン積分可能である。
証明
補題1(リーマン積分④参照)より、 $f$ は $[a,b]$ 上で連続だから、 $[a,b]$ で一様連続となる。
つまり、 $\forall\epsilon > 0,\exists\delta > 0\ s.t.\ \forall x,y\in[a,b],| x- y | < \delta\ ならば\ | f(x)-f(y) | < \dfrac{\epsilon}{b-a}\ \cdots(1)$
$n_0\in{\mathbb N}$ を $\dfrac{b-a}{n_0} < \delta$ となるようにとり、 $[a,b]$ の一つの分割 $P$ を

$\begin{eqnarray} P:\{a,a+\dfrac{b-a}{n_0},a+2\cdot\dfrac{b-a}{n_0},\cdots,a+(n_0-1)\dfrac{b-a}{n_0},b\} \end{eqnarray}$

とする。

$P$ は $[a,b]$ の $n_0$ 等分。 $I_j=[x_{j-1},x_j], | I_j | =x_j-x_{j-1}=\dfrac{b-a}{n_0}$
過剰和

$\begin{eqnarray} {\mathcal U}(P,f)&=&\sum_{j=1}^{n_0}\big(\sup_{I_j}f\big) | I_j |\\ &=&\frac{b-a}{n_0}\sum_{j=1}^{n_0} \sup_{I_j}f\\ \end{eqnarray}$

不足和

$\begin{eqnarray} {\mathcal L}(P,f)&=&\sum_{j=1}^{n_0}\big(\inf_{I_j}f\big) | I_j |\\ &=&\frac{b-a}{n_0}\sum_{j=1}^{n_0} \inf_{I_j}f\\ \end{eqnarray}$

ここで、 $j=1,\ldots,n_0$ に対し、

$\begin{eqnarray} \sup_{I_j}f=f(\overline{x_j}),\ \inf_{I_j}f=f(\underline{x_j}) \end{eqnarray}$

となる $\overline{x_j},\underline{x_j}\in{I_j}$ をとる。

このとき、 $| \overline{x_j}-\underline{x_j} | \leq | I_j | \leq \dfrac{b-a}{n_0} < \delta$ つまり、 $| \overline{x_j}-\underline{x_j} | < \delta$ となるから、
$(1)$ を用いて、

$\begin{eqnarray} {\mathcal U}(P,f)-{\mathcal L}(P,f)&=&\frac{b-a}{n_0}\sum_{j=1}^{n_0} \left(\sup_{I_j}f - \inf_{I_j}f\right)\\ &=&\frac{b-a}{n_0}\sum_{j=1}^{n_0} \left(f(\overline{x_j}) - \underline{x_j}f\right)\\ &=&\frac{b-a}{n_0}\sum_{j=1}^{n_0} \left | f(\overline{x_j}) - f(\underline{x_j})\right |\\ &<&\frac{b-a}{n_0}\sum_{j=1}^{n_0} \frac{\epsilon}{b-a}=\epsilon \end{eqnarray}$

上式は、 $f$ は $[a,b]$ 上でリーマン積分可能であることを意味する。□

機械学習基礎理論独習

誤りがあればご指摘いただけると幸いです。数式が整うまで少し時間かかります。リンクフリーです。

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