機械学習基礎理論独習

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リーマン積分③～関数の一様連続性～

リーマン積分(数の落とし子)
概要

関数の連続性、関数の一様連続性

関数の連続性

・A\subset{\mathbb R},f:A\rightarrow{\mathbb R} とする。
f が A 上の連続関数であるとは、\forall x\in A,\displaystyle\lim_{y\rightarrow x}f(y)=f(x),
つまり、\forall x\in A,\forall\epsilon > 0,\exists\delta > 0\ s.t.\ |x-y| < \delta,y\in A ならば |f(x)-f(y)| < \epsilon.
(\delta は x,\epsilon によって決まるので、\delta(x,\epsilon).)

関数の一様連続性

f が A 上で一様連続であるとは、次を満たすときをいう。
\forall\epsilon > 0,\exists\delta > 0\ s.t.\ |x-y| < \delta,x,y\in A ならば |f(x)-f(y)| < \epsilon.
(\delta は \epsilon によってのみ決まるので、\delta(\epsilon).)

注意
明らかに、f が A 上で一様連続 \Rightarrow f は A 上で連続。

例
連続だが、一様連続ではない例
f(x)=x^2\ (x\in{\mathbb R})

目標：\exists\epsilon_0,\ s.t.\ [\forall\delta > 0,\exists x_0,\exists y_0\in{\mathbb R}\ s.t.\ | x_0-y_0 | < \delta かつ | f(x_0)-f(y_0) |\geq\epsilon_0].
実際にこれを示す。
\forall\delta > 0, x_0:=\dfrac{1}{\delta},y_0:=\dfrac{1}{\delta} とおくと、| x_0-y_0 |=\dfrac{\delta}{2} < \delta であり、
かつ | f(x_0)-f(y_0) |= | x_0^2-y_0^2 | = | x_0+y_0 | | x_0-y_0 |=\Bigl(\dfrac{2}{\delta}+\dfrac{\delta}{2}\Bigr)\cdot\dfrac{\delta}{2}\geq\dfrac{2}{\delta}\cdot\dfrac{\delta}{2}=1. □

例
g(x)=\sqrt{x}\ (x\geq 0) とおくと、g(x) は [0,\infty) 上で一様連続であることを示す。

\forall\epsilon > 0,\delta:=\epsilon^2>0 とおき、|x-y| < \delta とする。
x\geq y\geq 0 としてよい。このとき、x-y= | x-y | < \delta より、x < y+\delta となるから、

\begin{eqnarray} | g(x)-g(y) | &=& | \sqrt{x}-\sqrt{y} |\\ &=&\sqrt{x}-\sqrt{y} < \sqrt{y+\delta}-\sqrt{y}\\ &\leq&\underbrace{\sqrt{y}+\sqrt{\delta}}_{(\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b},\ a,b,\geq 0)}-\sqrt{y}=\sqrt{\delta}=\epsilon. \end{eqnarray}
よって、g(x)=\sqrt{x} は [0,\infty) 上で一様連続。□

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