リーマン積分②～集合の上限・下限～

概要

集合の上限、集合の下限、ワイエルシュトラスの定理

集合の上限

・ $A\subset{\mathbb R}$ は上に有界とする。
このとき、 $\sup A=\alpha\in{\mathbb R}$ であるとは、以下の(i)、(ii)が成り立つときにいう。
(i) $\forall x\in A$ に対し、 $x\leq\alpha$
(ii) $\forall\epsilon > 0,\exists x_0\in A\ s.t.\ x_0 > \alpha-\epsilon$
(つまり、 $\alpha$ は $A$ の上界の $1$ つではあるが、 $\forall\epsilon > 0,\alpha-\epsilon$ は $A$ の上界ではない。)

例
・ $A:=\{x\in{\mathbb R}|0 < x < 1\}=(0,1)$ に対し、 $\sup A=1$ ( $\max A$ は存在しないことに注意)。
よって、 $\sup A$ が存在するとしても、 $\max A$ が存在するとは限らない。
一方、 $\max A$ が存在すれば、 $\sup A$ も存在し、 $\max A=\sup A.$

ワイエルシュトラスの定理
上に有界な集合 $A\subset{\mathbb R}$ は上限 $\sup A\in{\mathbb R}$ をもつ。

集合の下限

・ $A\subset{\mathbb R}$ は下に有界とする。
このとき、 $\inf A=\beta\in{\mathbb R}$ であるとは、以下の(i)、(ii)が成り立つときにいう。
(i) $\forall x\in A$ に対し、 $x\geq\beta$
(ii) $\forall\epsilon > 0,\exists x_0\in A\ s.t.\ x_0 < \beta+\epsilon$
(つまり、 $\beta$ は $A$ の下界の $1$ つではあるが、 $\forall\epsilon > 0,\beta+\epsilon$ は $A$ の下界ではない。)