リーマン積分①～集合の最大元・最小元～

概要

集合の有界性、集合の最大元・最小元

集合の有界性

$A\subset{\mathbb R}$ とする。
(i) $A$ が "上に有界" とは、
$\exists K\in{\mathbb R}\ s.t.\ \forall x\in A,x\leq K$ となること。

(ii) $A$ が "下に有界" とは、
$\exists K\in{\mathbb R}\ s.t.\ \forall x\in A,x\geq K$ となること。

(iii) $A$ が上にも下にも有界のとき、単に "有界" という。
例
・ $A_1:=\{x\in{\mathbb R}|0 < x < 2\}=(0,2)$ は有界。
・ $A_2:=\{x\in{\mathbb R}|-\infty < x < 0\}=(-\infty,0)$ は上に有界だが、下に非有界。
・ $A_3:={\mathbb N}=\{1,2,3,\cdots\}$ は下に有界だが、上に非有界。

集合の最大元・最小元

$A\subset{\mathbb R}$ とする。
(i) $\max A=\alpha\in{\mathbb R}$ であるとは、
$\alpha\in A$ かつ $\forall x\in A,x\leq\alpha$ となること。( $\Rightarrow$ 自動的に上に有界)

(ii) $\min B=\beta\in{\mathbb R}$ であるとは、
$\beta\in A$ かつ $\forall x\in A,x\geq\beta$ となること。( $\Rightarrow$ 自動的に下に有界)

例
・ $A_1:=\{x\in{\mathbb R}|0 \leq x \leq 1\}=[0,1]$ は有界で、 $\max A_1=1,\min A_1=0$ 。
・ $A_2:=\{x\in{\mathbb R}|0 < x \leq 1\}=(0,1]$ は有界で、 $\max A_2=1,\min A_2$ はなし。
・ $A_3:=\{x\in{\mathbb R}|0 \leq x < 1\}=[0,1)$ は有界で、 $\min A_3=0,\max A_3$ はなし。
よって、 $A$ が上に(下に)有界だとしても、 $\max(\min) A$ が存在するとは限らない。