機械学習基礎理論独習

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集合と位相⑩～逆写像の存在条件とその性質～

集合と位相(数の落とし子)
概要

補題15の証明、補題16の証明

補題15

X,Y を集合、f:X\rightarrow Y とする。
このとき、f^{-1}:Y\rightarrow X が存在するための必要十分条件は、f が全単射であることである。
証明
\Rightarrow (必要性)
f^{-1}:Y\rightarrow X が存在するとする。
このとき、逆写像の定理より

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f^{-1}\circ f = 1_X:X\rightarrow X\ \ \ \ (1)\\ f\circ f^{-1} = 1_Y:Y\rightarrow Y\ \ \ \ (2) \end{array} \right. \end{eqnarray}
が成り立つ。(1_X,1_Y ともに恒等写像だから当然、全単射。)
このとき、1_Y:Y\rightarrow Y は全射だから、(2) と補題14(3) より、f:X\rightarrow Y は全射。
また、1_X:X\rightarrow X は単射だから、(1) と補題14(4) より、f:X\rightarrow Y は単射。
以上より、f は全単射である。

\Leftarrow (十分性)
f:X\rightarrow Y は全単射とする。
まず、f は全射だから、\forall y\in Y,\exists x\in X\ s.t.\ y=f(x).
更に、\exists\tilde{x}\in X\ s.t.\ y=f(\tilde{x}) とすると、f(x)=f(\tilde{x}) となり(\because\ s.t. の内容が同じなので)、
f は単射だから x=\tilde{x}.
よって、\forall y\in Y,\exists ! x\in X\ s.t.\ y=f(x) となり、
上式を用いて、g:Y\rightarrow X を g(y):=x と定める。 (\because x が一意に定まるから)
このとき、\forall x\in X に対し、y:=f(x) とおくと、g(y)=x だから、
g\circ f(x)=g(f(x))=g(y)=x つまり、g\circ f=1_X が成り立つ。
また、\forall y\in Y,\exists !x\in X\ s.t.\ y=f(x),g(y)=x より、
f\circ g(y)=f(g(y))=f(x)=y つまり、f\circ g=1_Y が成り立つ。
よって、f の逆写像が存在し、g=f^{-1} である。

補題16

X,Y,Z を集合とし、f:X\rightarrow,g:Y\rightarrow Z とする。
このとき、f,g ともに全単射ならば、g\circ f:X\rightarrow X\rightarrow Z も全単射であり、
(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}:Z\rightarrow X となる。
証明
まず、f,g ともに全単射ならば、補題14(1)、(2) より、g\circ f も全単射となる。
よって、補題15より、f^{-1},g^{-1},(g\circ f)^{-1} が存在する。
このとき、\forall x\in X に対し、

\begin{eqnarray} \left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\circ\left(g\circ f\right)(x)&=&f^{-1}\circ g^{-1}\left(g\circ f(x)\right)\\ &=&f^{-1}\left(g^{-1}\left(g\circ f(x)\right)\right)\\ &=&f^{-1}\left(g^{-1}\left(g\left(f(x)\right)\right)\right)\\ &=&f^{-1}\left(g^{-1}\circ g\left(f(x)\right)\right)\\ &=&f^{-1}\left(1_Y\left(f(x)\right)\right)\\ &=&f^{-1}\left(f(x)\right)\\ &=&f^{-1}\circ f(x)\\ &=&1_X(x)\\ &=&x. \end{eqnarray}
よって、\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\circ\left(g\circ f\right)=1_X が分かった。
同様にして、\left(g\circ f\right)\circ\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)=1_Z も分かる。
ゆえに、逆写像の一意性から、(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}:Z\rightarrow X となる。□

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