位相空間②～距離空間の内点 vs 位相空間の内点～

概要

内点集合、内点の定義、距離空間との比較、定理2の証明

内点集合、内点の定義

・ $(X,\mathscr{O})$ を位相空間、 $A\subset X$ に対し、
$\Lambda:=\{O\subset A\ |\ O\in\mathscr{O}\}$ 、 $I(A):=\displaystyle\bigcup_{O\in\Lambda}O$ とおき、 $I(A)$ を $A$ の "内点集合" という。
$\mathscr{O}$ の定義より、 $I(A)\in\mathscr{O}$ に注意する。
また、 $x_0\in I(A)$ のとき、 $x_0$ を $A$ の "内点" という。

距離空間との比較

距離空間
(距離を用いて)内点 → 内点集合 → 開集合
位相空間
(位相を用いて)開集合 → 内点集合 → 内点

定理2

$(X,d)$ を距離空間に対し、 $\mathscr{O}:=\{O\subset X\ | \ Oは(X,d)の開集合\}$ とおくと、
距離空間⑤定理3より、 $(X,\mathscr{O})$ は位相空間となる。
このとき、 $(X,d)$ における $A$ の内点集合を $I_d(A)$ 、 $(X,\mathscr{O})$ における $A$ の内点集合を $I_\mathscr{O}(A)$ とおくと、
$I_d(A)=I_\mathscr{O}(A)$ が成り立つ。
証明
$I_d(A)\subset A$ (距離空間③補題3(ii)) かつ $I_d(A)\in\mathscr{O}$ (距離空間⑤補題7(i)).
だから、 $I_\mathscr{O}(A)$ の定義より $I_d(A)\subset I_\mathscr{O}(A).$
次に、 $I_\mathscr{O}\subset A$ を確認する。
実際、 $x\in I_\mathscr{O}(A)$ とすると、 $\exists O\in\mathscr{O}\ s.t.\ O\subset A\ かつ\ x\in O$ .よって、 $x\in A$ . (すなわち、 $I_\mathscr{O}\subset A$ を確認できた)
また、 $I_\mathscr{O}(A)$ の定義より、 $I_\mathscr{O}(A)\in\mathscr{O}$ となるから、 $I_\mathscr{O}(A)\subset I_d(A).$ (距離空間⑤補題7(iii))
以上より、 $I_d(A)=I_\mathscr{O}(A).$ □