ベジェ曲線とは フランスの自動車メーカーの技術者であるBezier氏が考案した曲線で、割と直観的に扱える曲線です。 この曲線は制御点と呼ばれる点で制御します。 次ベジェ曲線は 個の制御点を持ち、 はパラメータ の次数です。 よく用いられるのは、 次ベジ…

周期2πの周期関数f(x)のフーリエ級数 周期 の周期関数 のフーリエ級数(Ⅰ) で定義された周期 の区分的に滑らかな周期関数 は不連続点を除けば、次のようにフーリエ級数で表すことができる。 の右辺を、 の"フーリエ級数" または "フーリエ級数展開" と呼ぶ。 …

周期関数 周期関数の定義 すべての実数 に対して、となる定数 が存在するとき、 は周期 の周期関数という。例として、 は周期 で、 は周期 です。 三角関数の積分公式 積分区間 における三角関数の公式です。 (ちなみに、三角関数の加法定理を忘れた人はこち…

定義 9.14 距離空間 から距離空間 への写像 が全単射であって、 とその逆写像 が共に連続であるとき、 を位相同型写像または同型写像とよぶ。定義 9.15 距離空間 から距離空間 への位相同型写像が存在するとき、 と は位相同型であるといい、 で表す。定理 9…

注意 本記事は距離空間の記事であることを意識してください。定義 9.1 距離空間 の点 と正数 に対して、集合を の -近傍という。特に、距離空間 または における -近傍であることを強調するときには、 または と書く。任意の点 に対し、 です。補題 9.2 任意…

実数列 とは、各自然数 にそれぞれ実数 を体操させたものであから、写像 のことであると考えられます。定義 8.16 任意の集合 に対し、写像 を の点列といい、各 に対し、 を点列 の第 項という。ただし、本書では、点列の第 項を などで表し、このとき点列を…

ベルンシュタインの定理とは ベルンシュタインの定理は集合の濃度に関する定理で、とても重要です。ベルンシュタインの定理 任意の集合 に対し、 から への単射と から への単射が存在するならば、 が成立する。 (ここでは は対等の記号を表す。)ベルンシュ…

ギブスのツノは約9% 一般に不連続部におけるギブスの現象(ツノ)の大きさは、本来の左右両極限値の約 %であることが知られています。 これについて、具体例を通して求めていきましょう。 具体例 周期 の周期関数をフーリエ級数に展開すると、となります。 図1…

はじめに 三角関数の加法定理を忘れたと仮定します。 どうやって、加法定理を導けばよいでしょうか？ 私なりの方法を記します。 まず、回転行列を導く まず、回転行列を導いてみます。 点 と点 を 回転することで、回転行列を導くことができます。 点 を 回…

定義 8.13 つの距離空間 に対して、包含関係 が成り立ち、さらに、条件が満たされるとき、 は の部分距離空間または単に部分空間であるという。逆に、距離空間 が与えられたとき、任意の部分集合 に対して、距離関数 の への制限は 上の距離関数である。この…

定義 8.6 集合 と関数 が与えられ、任意の に対して、次の つのことが成り立つとする。 さらに、 (三角不等式) このとき、 を 上の距離関数という。ユークリッドの距離関数 は 上の距離関数です。(定理 8.5)定義 8.7 距離関数 が つ定められた集合 を距離空…

定義 8.1 の任意の 点 に対して、を、 間のユークリッドの距離という。ここで、記号 は の 点の組 に実数 を対応させる関数であると考えられる。ここで記号 をユークリッド距離関数という。定義 8.3 任意の 点間にユークリッドの距離が定められた集合 を 次…

はじめに の積ってなんかややこしくないですか？ってことで、解説していきます。 以下、 とします。 この式の説明の前に、 に具体的な数値を代入して、式が成り立つことを確認してみます。 のとき、これが成り立っているか確認してみます。 のとき、これが成…

定義 3.6 つの集合 が与えられ、 のどの要素に対しても、それぞれ の要素が一意的に(=ただ1つ)対応しているとき、この対応関係を から への写像という。集合 から集合 への写像を とするとき、 を の定義域、 を の終域という。また、各 に対応する の要素を…

定義 3.1 つの集合 に対して、次のように定める。ここで、 は、 の要素 の後に の要素 を並べて作った組である。 集合 を と の直背集合または単に直積という。直線集合 を と書く。 直積集合の要素 に対し、 をその第 座標、 をその第 座標という。定義 3.4…

定義 1.18 全体集合 が与えられたとする。このとき、任意の集合 に対して、差集合 を( における) の補集合とよび、で表す。本書では、最初の記号を採用する。任意の に対して、が成立する。命題 1.19 集合演算の基本性質2 任意の に対して、次が成り立つ。 …

定義 1.14 つの集合 に対して、次のように定める。集合 を と の和集合、 を と の共通部分という。註 1.15 定義より、次の が成立する。 命題 1.16 集合演算の基本性質1 (べき等法則) (交換法則) (結合法則) (結合法則) (分配法則) (分配法則)定義 の につ…

定義 1.7 つの集合 について、 の要素がすべて の要素であるとき、 は の部分集合であるといい、で表す。 であるとは、条件またはが満たされることです。註 1.9 集合 が集合 の部分集合でない、すなわち、 であるとは、条件が満たされることである。定義 1.1…

定義 1.1 集合とは「もの」の集まりのことである。ただし、本書で扱う集合は、明確な定義をもつ数学的な対象物の集まりである。たとえば、整数全体の集合や座標平面上の直線全体の集合などである。集合を構成する「もの」を、その集合の要素または元という。…

本記事を読むにあたって 「ボレル集合族上のルベーグ測度」と「(ルベーグ可測集合族上の)ルベーグ測度」の違いを意識してください。定義 1.16 ボレル集合族 のすべての開区間のなす集合族 から生成される -加法族をボレル集合族といい と書く。 つまり、ボレ…